Решите уравнение:
\(\displaystyle x-5 \sqrt x+4=0{\small.}\)
В ответе укажите количество различных корней и через запятую без пробелов сами корни в порядке возрастания.
Например:
- если уравнение имеет \(\displaystyle 2\) корня \(\displaystyle x_1=3\) и \(\displaystyle x_2=5{\small ,}\) то в ответе указываем \(\displaystyle 2{\small ,}3{\small ,}5\)
- если уравнение корней не имеет, то в ответе указываем \(\displaystyle 0\)
Заметим, что
\(\displaystyle x=\left(\sqrt x\right)^2{\small,}\)
и перепишем исходное уравнение в виде:
\(\displaystyle \left( \color{blue}{\sqrt x}\right)^2-5\color{blue}{\sqrt x}+4=0{\small.}\)
Видим, что переменная \(\displaystyle x\) теперь встречается в уравнении только в выражении \(\displaystyle \color{blue}{\sqrt x}{\small.}\)
Сделаем замену \(\displaystyle \color{blue}{t}=\color{blue}{\sqrt x}\) и получим квадратное уравнение:
\(\displaystyle \color{blue}{t}^2-5\color{blue}{t}+4=0{\small.}\)
Решим полученное уравнение.
\(\displaystyle t_1=4{\small ,} \, t_2=1{\small .} \)
Теперь, так как \(\displaystyle {t}=\sqrt x{\small,}\) можно найти \(\displaystyle x{\small:}\)
\(\displaystyle \sqrt x=4\) или \(\displaystyle \sqrt x=1{\small.}\)
| \(\displaystyle \sqrt x=4{\small,}\) | \(\displaystyle \sqrt x=1{\small,}\) | |
| \(\displaystyle x=4^2{\small,}\) | \(\displaystyle x=1^2{\small,}\) | |
| \(\displaystyle x=16{\small.}\) | \(\displaystyle x=1{\small.}\) |
Значит, исходное уравнение имеет \(\displaystyle \bf2\) корня (укажем их в порядке возрастания):
\(\displaystyle x_1=1\) и \(\displaystyle x_2=16{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 2{\small ,}1{\small ,}16{\small .} \)