Решите уравнение:
\(\displaystyle x+5 \sqrt x+6=0{\small.}\)
В ответе укажите количество различных корней и через запятую без пробелов сами корни в порядке возрастания.
Например:
- если уравнение имеет \(\displaystyle 2\) корня \(\displaystyle x_1=3\) и \(\displaystyle x_2=5{\small ,}\) то в ответе указываем \(\displaystyle 2{\small ,}3{\small ,}5\)
- если уравнение корней не имеет, то в ответе указываем \(\displaystyle 0\)
Заметим, что
\(\displaystyle x=\left(\sqrt x\right)^2{\small,}\)
и перепишем исходное уравнение в виде:
\(\displaystyle \left( \color{blue}{\sqrt x}\right)^2+5\color{blue}{\sqrt x}+6=0{\small.}\)
Видим, что переменная \(\displaystyle x\) теперь встречается в уравнении только в выражении \(\displaystyle \color{blue}{\sqrt x}{\small.}\)
Сделаем замену \(\displaystyle \color{blue}{t}=\color{blue}{\sqrt x}\) и получим квадратное уравнение:
\(\displaystyle \color{blue}{t}^2+5\color{blue}{t}+6=0{\small.}\)
Решим полученное уравнение.
\(\displaystyle t_1=-2{\small ,} \, t_2=-3{\small .} \)
Теперь, так как \(\displaystyle {t}=\sqrt x{\small,}\) можно найти \(\displaystyle x{\small:}\)
\(\displaystyle \sqrt x=-2\) или \(\displaystyle \sqrt x=-3{\small.}\)
Оба полученных уравнения корней не имеют, так как арифметический квадратный корень принимает только неотрицательные значения, а правые части уравнений отрицательны.
Значит, исходное уравнение также не имеет корней, поэтому в ответе следует указать \(\displaystyle 0{\small . }\)
Ответ: \(\displaystyle 0{\small .} \)