Skip to main content

Теория: 01 Дробно-рациональные уравнения - 1

Задание

Решите уравнение:

\(\displaystyle \frac{x-5}{x-11}=4{\small .}\)

\(\displaystyle x=\)
13
Решение

Для решения уравнения

\(\displaystyle \frac{x-5}{x-11}=4\)

перенесем \(\displaystyle 4 \) в левую часть:

\(\displaystyle \frac{x-5}{x-11}-4=0{\small .}\)

Приведем к общему знаменателю

и получим дробно-рациональное уравнение

\(\displaystyle \frac{-3x+39}{\phantom{1} x-11 } =0{\small .}\)

Воспользуемся правилом.

Правило

Уравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе \(\displaystyle \begin{cases} f(x)=0{\small , } \\ g(x)\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)

Значит,

\(\displaystyle \begin{cases} -3x+39=0{\small , } \\ x-11\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)

Корень уравнения \(\displaystyle -3x+39=0{\small :}\) \(\displaystyle x=13{\small . }\)

\(\displaystyle x-11\, \cancel{=}\, 0\) при \(\displaystyle x\, \cancel{=}\, 11{ \small .}\)

Таким образом, получаем:

\(\displaystyle \begin{cases} x=13{\small , } \\ x\, \cancel{=}\, 11{\small . } \end{cases}\)

Так как \(\displaystyle 13\, \cancel{=}\, 11 \) (не обращает знаменатель в \(\displaystyle 0\)), то \(\displaystyle x=13\) –  решение исходного уравнения.


Ответ: \(\displaystyle 13{\small . } \)