Решите уравнение:
\(\displaystyle 1-\frac{62}{x^2-2}=0{\small .}\)
Если корней несколько, в ответ запишите меньший из них.
\(\displaystyle x=\)
Решим уравнение
\(\displaystyle 1-\frac{62}{x^2-2}=0{ \small .}\)
и получим дробно-рациональное уравнение
\(\displaystyle \frac{x^2-64}{\phantom{1} x^2-2 } =0{\small .}\)
Воспользуемся правилом.
Уравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе \(\displaystyle \begin{cases} f(x)=0{\small , } \\ g(x)\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)
Таким образом, полученное уравнение равносильно системе
\(\displaystyle \begin{cases} x^2-64=0{\small , } \\ x^2-2\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)
Таким образом, получаем:
\(\displaystyle \begin{cases} x=8{\small , }\, x=-8{\small , } \\[5px]x\, \cancel{=}\, \sqrt{2}{\small , }\, x\, \cancel{=}-\sqrt{2}{\small . } \end{cases}\)
Так как
\(\displaystyle 8\, \cancel{=} \, \sqrt{2}{ \small ,} \,\,8\, \cancel{=}- \sqrt{2}\)
и
\(\displaystyle -8\, \cancel{=} \, \sqrt{2}{ \small ,} \,-8\, \cancel{=}-\sqrt{2}{ \small ,}\)
то \(\displaystyle x=8\) и \(\displaystyle x=-8\) являются решениями уравнения.
В ответ записываем меньший из них – это \(\displaystyle -8{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle -8{\small .}\)