Skip to main content

Теория: 01 Дробно-рациональные уравнения - 1

Задание

Решите уравнение:

\(\displaystyle \frac{x^2-5x+2}{x^2-7x+10}-2=0{\small .}\)

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

\(\displaystyle x=\)

Решение

Решим уравнение:

\(\displaystyle \frac{x^2-5x+2}{x^2-7x+10}-2=0{\small .}\)

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю и упростим полученное выражение.

Уравнение примет вид:

\(\displaystyle \frac{-{x^2}+{9x}-{18}}{\phantom{1}x^2-7x+10}=0{\small .}\)

Умножим обе части уравнения на \(\displaystyle -1\) (избавимся от минуса перед \(\displaystyle x^2\) в числителе):

\(\displaystyle \frac{x^2-9x+18}{x^2-7x+10}=0{\small .}\)

Воспользуемся правилом.

Правило

Уравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе \(\displaystyle \begin{cases} f(x)=0{\small , } \\ g(x)\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)

Значит, полученное уравнение равносильно системе:

\(\displaystyle \begin{cases} x^2-9x+18=0{\small , } \\ x^2-7x+10\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)

Квадратное уравнение \(\displaystyle x^2-9x+18=0\) имеет корни   \(\displaystyle x_1=6,\ x_2=3{\small .}\)

Выражение \(\displaystyle x^2-7x+10\, \cancel{=}\, 0\) при при \(\displaystyle x\, \cancel{=}\, 5\) и при \(\displaystyle x\, \cancel{=}\, 2{ \small .}\)

Таким образом, получаем:

\(\displaystyle \begin{cases} x=6{\small , }\, x=3{\small , } \\[5px]x\, \cancel{=}\, 5{\small , }\, x\, \cancel{=}\, 2{\small . } \end{cases}\)

Так как

\(\displaystyle 6\, \cancel{=} \, 5\) и \(\displaystyle 6\, \cancel{=} \, 2{ \small ,}\)

\(\displaystyle 3\, \cancel{=} \, 5\) и \(\displaystyle 3\, \cancel{=} \, 2{ \small ,}\)

то \(\displaystyle x=6\) является решением уравнения,

\(\displaystyle x=3\) является  решением уравнения.

Замечание / комментарий

Заметим, что можно не решать уравнение \(\displaystyle x^2-7x+10\, \cancel{=}\, 0{ \small ,}\) а проверить уже полученные корни \(\displaystyle x=6\) и \(\displaystyle x=3\) подстановкой. Корни целые, поэтому громоздких вычислений не потребуется.

Подставим \(\displaystyle x=6\) в уравнение \(\displaystyle x^2-7x+10=0\) и проверим, получится ли верное равенство:

\(\displaystyle 6^2-7\cdot 6+10=0{ \small ,}\)

\(\displaystyle 36-42+10=0{ \small ,}\)

\(\displaystyle 4\,\cancel{=}\,0{\small .}\)

Получили неверное равенство. Значит, \(\displaystyle x=6\) не является корнем уравнения \(\displaystyle x^2-7x+10=0{\small .}\)

Аналогично, при  \(\displaystyle x=3{ \small :}\)

\(\displaystyle 3^2-7\cdot 3+10=9-21+10=-2\,\cancel{=}\,0{\small ,}\)

поэтому \(\displaystyle x=3\) также не является корнем уравнения \(\displaystyle x^2-7x+10=0{\small .}\)

Исходное уравнение имеет два корня: \(\displaystyle x=3\) и \(\displaystyle x=6{\small .}\)

В ответе укажем больший из них, то есть  \(\displaystyle x=6{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle x=6{\small .}\)