Skip to main content

Теория: 01 Дробно-рациональные уравнения - 1

Задание

Найдите корень уравнения:

\(\displaystyle x=\frac{5x-56}{x-10}{\small .}\)

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

\(\displaystyle x=\)

Решение

Для того чтобы решить рациональное уравнение

\(\displaystyle x=\frac{5x-56}{x-10}{ \small ,}\)

    • перенесем все члены уравнения в левую часть,
    • приведем к общему знаменателю.

        \(\displaystyle x-\frac{5x-56}{x-10}=0{ \small .}\)

        Приведем к общему знаменателю

        и получим дробно-рациональное уравнение

        \(\displaystyle \frac{x^2-15x+56}{x-10}=0{\small .}\)

        Воспользуемся правилом.

        Правило

        Уравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе \(\displaystyle \begin{cases} f(x)=0{\small , } \\ g(x)\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)

        Значит, полученное уравнение равносильно системе

        \(\displaystyle \begin{cases} x^2-15x+56=0{\small , } \\ x-10\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)

        Квадратное уравнение \(\displaystyle x^2-15x+56=0\) имеет корни \(\displaystyle x_1=7,\ x_2=8 {\small . } \)

        \(\displaystyle x-10\, \cancel{=}\, 0\) при \(\displaystyle x\, \cancel{=}\, 10{ \small .}\)

        Таким образом, получаем:

        \(\displaystyle \begin{cases} x=7{\small , }\, x=8{\small , } \\[5px]x\, \cancel{=}\, 10{\small . } \end{cases}\)

        Так как

        \(\displaystyle 8\, \cancel{=} \, 10\)  и \(\displaystyle 7\, \cancel{=}\, 10{ \small ,}\)

        то \(\displaystyle x=8\) и \(\displaystyle x=7\) являются решениями уравнения.

        В ответ записываем меньший из них – это \(\displaystyle 7{\small .}\)


        Ответ: \(\displaystyle 7{\small .}\)