Теория: 11 Системы уравнений, сводящиеся к системам линейных уравнений

Избавимся от дроби в первой уравнении, умножив его на \(\displaystyle 40{\small:}\)

\(\displaystyle\begin{aligned}\begin{cases}a+b=\dfrac{13}{40}\, \, \, \color{red}{\bigg| \cdot 40}{\small,}\\ \\5a-16b=-1{\small;}\\\end{cases}\\\end{aligned}\)

\(\displaystyle\begin{aligned}\begin{cases}40a+40b=13{\small,}\\5a-16b=-1{\small.}\\\end{cases}\\\end{aligned}\)

Воспользуемся методом алгебраического сложения.

Чтобы получить противоположные коэффициенты перед переменной \(\displaystyle a{\small,}\) умножим второе уравнение системы на \(\displaystyle (-8){\small:}\)

\(\displaystyle\begin{aligned}\begin{cases}40a+40b=13{\small,}\\5a-16b=-1\, \, \, \color{magenta}{\big| \cdot (-8)}{\small;}\\\end{cases}\\\end{aligned}\)

\(\displaystyle\begin{aligned}\begin{cases}\, \, \, \, 40a+40b=13{\small,}\\-40a+128b=8{\small.}\\\end{cases}\\\end{aligned}\)

К левой части первого уравнения прибавим левую часть второго уравнения, а к правой – правую:

\(\displaystyle\begin{aligned}\underset{\color{red}{\, \, \, \, \, \, \, \text{ -----------------------------}}}{\color{red}{+}\begin{cases}\, \, \, \, 40a+40b=13{\small,}\\-40a+128b=8{\small.}\\\end{cases}}\\0+168b=21{\small.}\, \,\end{aligned}\)

Получили уравнение с одной переменной \(\displaystyle b{\small.}\)

Найдём значение \(\displaystyle b{\small,}\) разделив обе части этого уравнения на \(\displaystyle 168{\small:}\)

\(\displaystyle 168b=21\ \color{blue}{\Big|:168}\ {\small;} \) 

\(\displaystyle b=\frac{21}{168}=\frac{1}{8}{\small.}\)

Подставим найденное значение \(\displaystyle b\) во  второе уравнение системы и вычислим значение \(\displaystyle a{\small:}\)

\(\displaystyle 5a-16b=-1{\small;} \)

\(\displaystyle 5a-16\cdot \frac{1}{8}=-1{\small;} \)

\(\displaystyle 5a-2=-1{\small;} \)

\(\displaystyle 5a=1{\small;} \)

\(\displaystyle a=\frac{1}{5}{\small.} \)

Подставим найденные значения \(\displaystyle a=\frac{1}{5}\) и \(\displaystyle b=\frac{1}{8}\)  в равенства

Получим

Следовательно,