Теория: 11 Системы уравнений, сводящиеся к системам линейных уравнений

Заметим, что в первом и втором уравнениях системы перед переменной \(\displaystyle y\) стоят противоположные коэффициенты.

Воспользуемся методом алгебраического сложения.

• Прибавим к левой части первого уравнения левую часть второго уравнения, к правой – правую:

• В исходной системе заменим первые два уравнения уравнением \(\displaystyle x+z=7{\small:}\)

\(\displaystyle\begin{aligned}\begin{cases}x+z=7{\small,}\\x-z=5{\small.}\end{cases}\end{aligned}\)

• В полученной системе прибавим к левой части первого уравнения левую часть второго уравнения, к правой – правую:

• Решим полученное уравнение и найдем значение переменной \(\displaystyle x{\small:}\)

\(\displaystyle 2x=12{\small;}\)

\(\displaystyle x=6{\small.}\)

• Подставим в первое и третье уравнения исходной системы вместо \(\displaystyle x\) число \(\displaystyle 6{\small:}\)

В результате:

\(\displaystyle x=6{\small;}\)     \(\displaystyle y=-3{\small;}\)   \(\displaystyle z=1{\small.}\)

Для удобства запишем эту систему в виде:

\(\displaystyle\begin{aligned}\begin{cases}x+y+\color{pink}{0}=3{\small,}\\\color{pink}{0}-y+z=4{\small,}\\x+\color{pink}{0}-z=5{\small.}\end{cases}\end{aligned}\)

При сложении всех трёх уравнений получим:

Решим полученное уравнение и найдем значение переменной \(\displaystyle x{\small:}\)

\(\displaystyle 2x=12{\small;}\)

\(\displaystyle x=6{\small.}\)

Подставим в первое и  третье уравнения исходной системы вместо \(\displaystyle x\) число \(\displaystyle 6{\small:}\) 

В результате:

\(\displaystyle x=6{\small;}\)     \(\displaystyle y=-3{\small;}\)   \(\displaystyle z=1{\small.}\)