Выберите уравнение окружности с центром в точке \(\displaystyle C(4;2){\small,}\) зная, что она проходит через точку \(\displaystyle A(1;6) {\small.}\)
Графиком уравнения вида \(\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 {\small }\) при \(\displaystyle r\ \cancel =\ 0\) является окружность с центром в точке \(\displaystyle C(\color{orange}{a};\color{green}{b})\) и радиусом \(\displaystyle r{\small.}\)
Координаты центра окружности нам известны: \(\displaystyle C(\color{orange}{4};\color{green}{2}){\small.}\)
Значит, уравнение окружности имеет вид:
\(\displaystyle (x-\color{orange}{4})^2+(y-\color{green}{2})^2=r^2 {\small .}\)
Необходимо найти значение \(\displaystyle r^2{\small.}\)
- Если при подстановке координат точки в уравнение получается верное равенство, то точка принадлежит графику этого уравнения;
- если при подстановке координат точки в уравнение верное равенство не получается, то точка не принадлежит графику этого уравнения.
Значит, при подстановке координат точки \(\displaystyle A(\color{red}{1};\color{blue}{6}) {\small}\) в уравнение \(\displaystyle (\color{red}{x}-4)^2+(\color{blue}{y}-2)^2=r^2{\small}\) у нас должно получиться верное равенство.
Выполним подстановку:
\(\displaystyle (\color{red}{1}-4)^2+(\color{blue}{6}-2)^2=r^2{\small,}\)
\(\displaystyle (-3)^2+4^2=r^2{\small}\)
\(\displaystyle 9+16=r^2{\small}\)
или
\(\displaystyle r^2=25{\small.}\)
Значит, искомое уравнение имеет вид:
\(\displaystyle (x-4)^2+(y-2)^2=25{\small.}\)
Заметим, что радиус окружности нам также известен:
\(\displaystyle r^2=25{\small,}\)
откуда (учитывая, что радиус – положительная величина)
\(\displaystyle r=5{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle (x-4)^2+(y-2)^2=25{\small.}\)