Skip to main content

Теория: 08 Нахождение множества решений квадратного неравенства

Задание

Решите неравенство:

\(\displaystyle x^2+6<5x{\small .}\)

\(\displaystyle x\in\) Перетащите сюда правильный ответ
Решение

Преобразуем неравенство к виду

\(\displaystyle x^2-5x+6<0{\small .} \)

Решим неравенство графическим способом.

Графиком левой части неравенства является парабола \(\displaystyle y= x^2-5x+6{\small,}\) ветви которой направлены вверх. График правой части \(\displaystyle y=0\) – ось \(\displaystyle \rm OX{\small.}\)

Решением неравенства \(\displaystyle x^2-5x+6<0\) будут такие значения \(\displaystyle x{\small,}\) при которых соответствующие точки параболы лежат ниже оси абсцисс.

Алгоритм решения:

  • найти точки пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX{\small ,} \) то есть решить уравнение \(\displaystyle x^2-5x+6=0{\small ;} \)
  • схематично построить параболу \(\displaystyle y=x^2-5x+6 \) с учетом найденных точек пересечения;
  • записать решение неравенства – все значения \(\displaystyle x\) точек параболы, для которых соответствующие значения \(\displaystyle y<0{\small.}\)

Найдем точки пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX{\small.} \)

\(\displaystyle (2;0)\) и \(\displaystyle (3;0)\) – точки пересечения параболы \(\displaystyle y=x^2-5x+6 \) с осью абсцисс.


Схематично построим график квадратичной функции с учетом найденных точек пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX{\small :} \)

По графику найдем решение неравенства \(\displaystyle x^2-5x+6<0{\small .} \)

Искомое решение – это все точки на прямой между \(\displaystyle 2 \) и \(\displaystyle 3{\small :}\)

То есть это все точки на прямой \(\displaystyle \rm OX{\small,}\) для которых \(\displaystyle 2<x<3{\small .} \)

Запишем решение в виде интервала:

\(\displaystyle x\in (2;3){\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle x\in (2;3){\small .}\)