Решите неравенство:
\(\displaystyle -24x+60\ge 3x^2{\small .}\)
Преобразуем неравенство к виду
\(\displaystyle -3x^2-24x+60\ge 0{\small .} \)
Графиком левой части неравенства является парабола \(\displaystyle y= -3x^2-24x+60{\small,}\) ветви которой направлены вниз. График правой части \(\displaystyle y=0\) – ось \(\displaystyle \rm OX{\small.}\)
Решением неравенства \(\displaystyle -3x^2-24x+60\ge 0\) будут такие значения \(\displaystyle x{\small,}\) при которых соответствующие точки параболы лежат как выше оси \(\displaystyle \rm OX {\small , }\) так и на ней.
Алгоритм решения:
- найти точки пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX{\small ,} \) то есть решить уравнение \(\displaystyle -3x^2-24x+60=0{\small ;} \)
- схематично построить параболу \(\displaystyle y=-3x^2-24x+60 \) с учетом найденных точек пересечения;
- записать решение неравенства – все значения \(\displaystyle x\) точек параболы, для которых соответствующие значения \(\displaystyle y\ge0{\small.}\)
\(\displaystyle (2;0)\) и \(\displaystyle (-10;0)\) – точки пересечения параболы \(\displaystyle y=-3x^2-24x+60 \) с осью абсцисс.
Схематично построим график квадратичной функции при \(\displaystyle a<0\) с учетом найденных точек пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX{\small :} \)
Искомое решение – это все точки на прямой между \(\displaystyle -10 \) и \(\displaystyle 2{\small ,}\) а также сами точки \(\displaystyle -10\) и \(\displaystyle 2{\small :}\)
То есть это все точки на прямой \(\displaystyle \rm OX {\small,}\) для которых \(\displaystyle -10\le x\le 2{\small .} \)
Запишем решение в виде промежутка:
\(\displaystyle x\in [-10;\, 2]{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle x\in [-10;\, 2]{\small .}\)