Skip to main content

Теория: 08 Нахождение множества решений квадратного неравенства

Задание

Решите неравенство:

\(\displaystyle x^2+3x<-10{\small .}\)

\(\displaystyle x\in\) Перетащите сюда правильный ответ
Решение

Преобразуем неравенство к виду

\(\displaystyle x^2+3x+10<0{\small .} \)

Решим неравенство графическим способом.

Графиком левой части неравенства является парабола \(\displaystyle y=x^2+3x+10{\small,}\) ветви которой направлены вверх. График правой части \(\displaystyle y=0\) – ось \(\displaystyle \rm OX{\small.}\)

Решением неравенства \(\displaystyle x^2+3x+10<0\) будут такие значения \(\displaystyle x{\small,}\) при которых соответствующие точки параболы лежат ниже оси абсцисс.

Алгоритм решения:

  • найти точки пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX{\small ,} \) то есть решить уравнение \(\displaystyle x^2+3x+10=0{\small ;} \)
  • схематично построить параболу \(\displaystyle y=x^2+3x+10 \) с учетом найденных точек пересечения;
  • записать решение неравенства – все значения \(\displaystyle x\) точек параболы, для которых соответствующие значения \(\displaystyle y<0{\small.}\)

Найдем точки пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX{\small.} \)

Парабола не имеет точек пересечения  с осью \(\displaystyle \rm OX {\small , }\) коэффициент \(\displaystyle a>0{\small , }\) а, значит, все точки графика лежат выше оси \(\displaystyle \rm OX{\small .} \)


Схематично построим график квадратичной функции:

По графику найдем решение неравенства \(\displaystyle x^2+3x+10<0{\small .} \)

Выделим красным цветом точки параболы, лежащие ниже оси \(\displaystyle \rm OX{\small.} \)

Таких точек нет.

Значит, неравенство не имеет решений.

Ответ: \(\displaystyle \varnothing{\small .} \)