Решите неравенство:
\(\displaystyle -x^2+8x\ge 15+x{\small .}\)
\(\displaystyle x\in\)
Преобразуем неравенство к виду
\(\displaystyle -x^2+7x-15\ge 0{\small .} \)
Графиком левой части неравенства является парабола \(\displaystyle y=-x^2+7x-15{\small,}\) ветви которой направлены вниз. График правой части \(\displaystyle y=0\) – ось \(\displaystyle \rm OX{\small.}\)
Решением неравенства \(\displaystyle -x^2+7x-15\ge 0\) будут такие значения \(\displaystyle x{\small,}\) при которых соответствующие точки параболы лежат как выше оси \(\displaystyle \rm OX {\small , }\) так и на ней.
Алгоритм решения:
- найти точки пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX{\small ,} \) то есть решить уравнение \(\displaystyle -x^2+7x-15=0{\small ;} \)
- схематично построить параболу \(\displaystyle y=-x^2+7x-15 \) с учетом найденных точек пересечения;
- записать решение неравенства – все значения \(\displaystyle x\) точек параболы, для которых соответствующие значения \(\displaystyle y\ge 0{\small.}\)
Парабола не имеет точек пересечения с осью \(\displaystyle \rm OX {\small ,}\) коэффициент \(\displaystyle a<0{\small ,}\) а значит, все точки графика лежат ниже оси \(\displaystyle \rm OX{\small .} \)
Схематично построим график квадратичной функции:
По графику найдем решение неравенства \(\displaystyle -x^2+7x-15\ge 0{\small .} \)
Выделим красным цветом точки параболы, лежащие как выше оси \(\displaystyle \rm OX {\small , }\) так и на ней.
Таких точек нет.
Значит, неравенство не имеет решений.
Ответ: \(\displaystyle \varnothing{\small .} \)