Дан график некоторой окружности \(\displaystyle x^2+y^2=r^2 {\small.}\)
На каком из рисунков заштрихованная область является решением неравенства
\(\displaystyle x^2+y^2<r^2 {\small?}\)
| Рисунок \(\displaystyle \rm I\) | Рисунок \(\displaystyle \rm II\) |
 |  |
Графиком уравнения \(\displaystyle x^2+y^2=r^2\) является окружность с центром в начале координат и радиусом \(\displaystyle r{\small.}\)
Для любой точки с координатами \(\displaystyle (x;\,y)\) на этой окружности выполнено
\(\displaystyle x^2+y^2=r^2 {\small.}\)
Окружность разбивает плоскость на две части: внутри полученного круга и вне его.
Найдем область, координаты всех точек которой удовлетворяют неравенству
\(\displaystyle x^2+y^2< r^2 {\small.}\)
Выберем точку \(\displaystyle B{ \small, }\) лежащую внутри круга, границей которого является окружность \(\displaystyle x^2+y^2=\color{green}{r}^2 {\small.}\)
Эта точка также лежит на некоторой окружности с центром \(\displaystyle O\) и радиусом \(\displaystyle \color{red}{r_1}{\small.}\) При этом \(\displaystyle \color{red}{r_1}<\color{green}{r}{\small.}\)
Значит, для координат точки \(\displaystyle B\) выполнено
\(\displaystyle x^2+y^2= \color{red}{r_1}^2 {\small.}\)
Так как \(\displaystyle r_1\) и \(\displaystyle r\) положительны и \(\displaystyle r_1<r{\small, }\) то \(\displaystyle \color{red}{r_1}^2<\color{green}{r}^2{\small.}\)
Поэтому для координат точки \(\displaystyle B\) выполнено
\(\displaystyle x^2+y^2\color{red}{<}r^2 {\small.}\)
Более того, для всех точек, лежащих внутри круга, выполнено неравенство
\(\displaystyle x^2+y^2< r^2 {\small.}\)
Значит, координаты точек, лежащих внутри круга с центром в начале координат и радиусом \(\displaystyle r {\small ,}\) являются решениями неравенства
\(\displaystyle x^2+y^2\color{red}{<}r^2 {\small.}\)
Для всех точек, лежащих вне круга, выполнено неравенство
\(\displaystyle x^2+y^2> r^2 {\small.}\)
Таким образом, область, являющаяся решением неравенства \(\displaystyle x^2+y^2< r^2 {\small ,}\) изображена на рисунке \(\displaystyle \rm I\).
Так как неравенство строгое, координаты точек, лежащих на окружности, не являются решением неравенства. Поэтому окружность изображается пунктирной линией.
Ответ: Рисунок \(\displaystyle \rm I\)
Можем сформулировать правило:
- Решением неравенства \(\displaystyle x^2+y^2< r^2 {\small }\) являются координаты точек, расположенных внутри круга с центром в начале координат и радиусом \(\displaystyle r {\small .}\\ \)
- Решением неравенства \(\displaystyle x^2+y^2> r^2 {\small }\) являются координаты точек, расположенных вне круга с центром в начале координат и радиусом \(\displaystyle r {\small .}\)