Skip to main content

Теория: 05 Неравенства с двумя переменными на плоскости: окружность

Задание

На обоих рисунках изображена кривая \(\displaystyle x^2-2x+y^2+4y=4\small.\)

На каком из рисунков заштрихованная область является решением неравенства

\(\displaystyle x^2-2x+y^2+4y<4\small?\)

Рисунок \(\displaystyle \rm I\)Рисунок \(\displaystyle \rm II\)

 

 

Решение

Границей областей на рисунках является кривая, задаваемая уравнением \(\displaystyle x^2-2x+y^2+4y=4\small.\)

 

Это окружность, уравнение которой можно записать в стандартном виде:

\(\displaystyle (x-1)^2+(y+2)^2=3^2\small.\)

Значит, исходное неравенство может быть записано в виде:

\(\displaystyle (x- 1)^2+(y+2)^2<3^2\small.\)

Правило

Решением неравенства \(\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2< r^2 {\small }\) являются координаты точек, расположенных внутри круга с центром в точке \(\displaystyle C(a;b)\) и радиусом \(\displaystyle r {\small.}\)

Значит, решением неравенства

\(\displaystyle (x-1)^2+(y+2)^2\color{red}{<}3^2\)

являются координаты точек, лежащих внутри круга с центром в точке \(\displaystyle (1;\,-2){\small}\) и радиусом \(\displaystyle 3{\small.}\)

Данная область изображена на рисунке \(\displaystyle \rm I {\small.}\)

Ответ: Рисунок \(\displaystyle \rm I {\small.}\)