Дан график некоторой функции \(\displaystyle y=f(x) {\small.}\)
На каком из рисунков заштрихованная область является решением неравенства
\(\displaystyle y>f(x) {\small?}\)
| Рисунок \(\displaystyle \rm I\) | Рисунок \(\displaystyle \rm II\) |
 |  |
Для координат \(\displaystyle (x;\,y)\)любой точки на этой кривой выполнено
\(\displaystyle y=f(x) {\small.}\)
Данная кривая делит плоскость на две части.
Найдем область, координаты всех точек которой удовлетворяют неравенству
\(\displaystyle y>f(x) {\small.}\)
Выберем произвольную точку на кривой \(\displaystyle y=f(x) {\small.}\) Координаты этой точки – \(\displaystyle (x;\,f(x)){\small.}\)
Рассмотрим точку, лежащую по вертикали выше выбранной точки.
При движении вверх по вертикали координата \(\displaystyle x\) остаётся прежней, а координата \(\displaystyle y \) увеличивается.
Поэтому для всех точек \(\displaystyle (x;\,y){ \small ,}\) лежащих по вертикали выше точки \(\displaystyle (x;\,f(x)){ \small ,}\) выполняется неравенство
\(\displaystyle y>f(x) {\small.}\)
Значит, координаты точек, лежащих выше кривой \(\displaystyle y=f(x) {\small,}\) являются решениями неравенства \(\displaystyle y\color{red}{>}f(x) {\small.}\)
Аналогично, для координат точек, лежащих ниже кривой \(\displaystyle y=f(x) {\small}\) выполнено
\(\displaystyle y < f(x) {\small.}\)
Таким образом, область, являющаяся решением неравенства \(\displaystyle y>f(x) {\small ,}\) изображена на рисунке \(\displaystyle \rm I\).
Так как неравенство строгое, координаты точек, лежащих на кривой, не являются решением неравенства. Поэтому кривая изображается пунктирной линией.
Ответ: Рисунок \(\displaystyle \rm I\)
Можем сформулировать правило:
Решением неравенства \(\displaystyle y>f(x) {\small }\) являются координаты точек, расположенных выше кривой \(\displaystyle y=f(x) {\small .}\)
Решением неравенства \(\displaystyle y<f(x) {\small }\) являются координаты точек, расположенных ниже кривой \(\displaystyle y=f(x) {\small .}\)