Теория: 03 Простейшие квадратные неравенства (метод интервалов) (короткая версия)

Чтобы найти нули функции \(\displaystyle f(x)=(x+5)(x-3){\small ,}\) решим уравнение

\(\displaystyle (x+5)(x-3)=0{\small .}\)

Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.

Поэтому

\(\displaystyle x+5=0\) или \(\displaystyle x-3=0{\small ,}\)

откуда

 \(\displaystyle x_1=-5 {\small ;}\)   \(\displaystyle x_2=3 {\small .} \)

Для промежутка \(\displaystyle (-\infty;-5)\) возьмём \(\displaystyle x=-6 {\small ,}\)принадлежащее этому промежутку. Определим знак функции при \(\displaystyle x=-6{ \small :}\)

\(\displaystyle f(-6)=(-6+5)(-6-3)=(-1) \cdot (-9)>0{\small .}\)

Пишем знак плюс в промежутке \(\displaystyle (-\infty;-5){\small :}\)

Для промежутка \(\displaystyle (-5;3)\) возьмём \(\displaystyle x=0 {\small ,}\)принадлежащее этому промежутку. Определим знак функции при \(\displaystyle x=0 { \small :}\)

\(\displaystyle f(0)=(0+5)(0-3)=5 \cdot (-3)<0{\small .}\)

Пишем знак минус в промежутке \(\displaystyle (-5;3){\small :}\)

Для промежутка \(\displaystyle (3;+\infty)\) возьмём \(\displaystyle x=4 {\small ,}\)принадлежащее этому промежутку. Определим знак функции при \(\displaystyle x=4 { \small :}\)

\(\displaystyle f(4)=(4+5)(4-3)=9 \cdot 1>0{\small .}\)

Пишем знак плюс в промежутке \(\displaystyle (3;+\infty){\small .}\)