Решите неравенство методом интервалов:
\(\displaystyle \left( x- \frac{1}{5} \right) \left(x-\frac{1}{7} \right) \geqslant 0{\small .}\)
Рассмотрим функцию \(\displaystyle f(x)=\left( x- \frac{1}{5} \right) \left(x-\frac{1}{7} \right){\small .}\)
Найдем нули данной функции.
\(\displaystyle x=\frac{1}{5}\) и \(\displaystyle x=\frac{1}{7}\) – нули функции \(\displaystyle f(x)=\left( x- \frac{1}{5} \right) \left(x-\frac{1}{7} \right) {\small .}\)
Отметим найденные значения на числовой прямой закрашенными точками (так как знак неравенства нестрогий):
Получаем три промежутка:
\(\displaystyle \left(-\infty;\frac{1}{7}\right){ \small ,} \, \left(\frac{1}{7};\frac{1}{5}\right)\) и \(\displaystyle \left(\frac{1}{5};+\infty\right){\small .}\)
Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\left( x- \frac{1}{5} \right) \left(x-\frac{1}{7} \right)\) в каждом промежутке.
Решением неравенства \(\displaystyle \left( x- \frac{1}{5} \right) \left(x-\frac{1}{7} \right) \geqslant 0\) будут промежутки, в которых \(\displaystyle f(x) > 0{\small , }\) и нули функции \(\displaystyle f(x){\small }\) (закрашенные точки).
Получаем, что
\(\displaystyle \left( -\infty;\frac{1}{7}\right] \cup \left[ \frac{1}{5};+ \infty \right)\) – искомое решение.
Ответ: \(\displaystyle x \in \left( -\infty;\frac{1}{7}\right] \cup \left[ \frac{1}{5};+ \infty \right) {\small .}\)