Теория: 03 Простейшие квадратные неравенства (метод интервалов) (короткая версия)

Чтобы найти нули функции \(\displaystyle f(x)=(x-6)(x+2){\small ,}\) решим уравнение

\(\displaystyle (x-6)(x+2)=0{\small .}\)

Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.

Поэтому

\(\displaystyle x-6=0\) или \(\displaystyle x+2=0{\small ,}\)

откуда

 \(\displaystyle x_1=6 {\small ;}\)   \(\displaystyle x_2=-2 {\small .} \)

Для промежутка \(\displaystyle (-\infty;-2)\) возьмём \(\displaystyle x=-4 {\small ,}\)принадлежащее этому промежутку. Определим знак функции при \(\displaystyle x=-4{ \small :}\)

\(\displaystyle f(-4)=(-4-6)(-4+2)=(-10) \cdot (-2)>0{\small .}\)

Пишем знак плюс в промежутке \(\displaystyle (-\infty;-2){\small :}\)

Для промежутка \(\displaystyle (-2;6)\) возьмём \(\displaystyle x=0 {\small ,}\)принадлежащее этому промежутку. Определим знак функции при \(\displaystyle x=0 { \small :}\)

\(\displaystyle f(0)=(0-6)(0+2)=-6 \cdot 2 <0{\small .}\)

Пишем знак минус в промежутке \(\displaystyle (-2;6){\small :}\)

Для промежутка \(\displaystyle (6;+\infty)\) возьмём \(\displaystyle x=8 {\small ,}\)принадлежащее этому промежутку. Определим знак функции при \(\displaystyle x=8 { \small :}\)

\(\displaystyle f(8)=(8-6)(8+2)=2 \cdot 10>0{\small .}\)

Пишем знак плюс в промежутке \(\displaystyle (6;+\infty){\small .}\)