Теория: 03 Простейшие квадратные неравенства (метод интервалов) (короткая версия)

Чтобы найти нули функции \(\displaystyle f(x)=\left( x- \frac{1}{5} \right) \left(x-\frac{1}{7} \right){\small ,}\) решим уравнение

\(\displaystyle \left( x- \frac{1}{5} \right) \left(x-\frac{1}{7} \right)=0{\small .}\)

Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.

Поэтому

\(\displaystyle x- \frac{1}{5}=0\) или \(\displaystyle x- \frac{1}{7}=0{\small ,}\)

откуда

 \(\displaystyle x_1=\frac{1}{5} {\small ;}\)   \(\displaystyle x_2=\frac{1}{7} {\small .} \)

Для промежутка \(\displaystyle \left(-\infty;\frac{1}{7}\right)\) возьмём \(\displaystyle x=0{\small ,}\)принадлежащее этому промежутку. Определим знак функции при \(\displaystyle x=0{ \small :}\)

\(\displaystyle f(0)=\left( 0- \frac{1}{5} \right) \left(0-\frac{1}{7} \right)=\left( - \frac{1}{5} \right) \cdot \left(-\frac{1}{7} \right)>0{\small .}\)

Пишем знак плюс в промежутке\(\displaystyle \left(-\infty;\frac{1}{7}\right){\small :}\)

Для промежутка \(\displaystyle \left(\frac{1}{7};\frac{1}{5}\right)\) возьмём\(\displaystyle x=\frac{1}{6}{\small ,}\)принадлежащее этому промежутку. Определим знак функции при \(\displaystyle x=\frac{1}{6} { \small :}\)

\(\displaystyle f \left(\frac{1}{6}\right)=\left(\frac{1}{6}- \frac{1}{5}\right)\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{7}\right)=-\frac{1}{30} \cdot \frac{1}{42}<0{\small .}\)

Пишем знак минус в промежутке \(\displaystyle \left(\frac{1}{7};\frac{1}{5}\right){\small :}\)

Для промежутка \(\displaystyle \left(\frac{1}{5};+\infty\right)\) возьмём\(\displaystyle x=1 {\small ,}\)принадлежащее этому промежутку. Определим знак функции при \(\displaystyle x=1 { \small :}\)

\(\displaystyle f(0)=\left( 1- \frac{1}{5} \right) \left(1-\frac{1}{7} \right)= \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7} >0{\small .}\)

Пишем знак плюс в промежутке \(\displaystyle \left(\frac{1}{5};+\infty\right){\small .}\)