Курс воздушных ванн начинают с \(\displaystyle 15\) минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на \(\displaystyle 5\) минут. В какой по счёту день продолжительность процедуры достигнет \(\displaystyle 1\) часа \(\displaystyle 10\) минут?
Пусть \(\displaystyle a_n\) – продолжительность воздушных ванн в день под номером \(\displaystyle n{\small }\) в минутах, \(\displaystyle n=1,2,...{\small .}\)
По условию, время процедуры в каждый следующий день увеличивают на \(\displaystyle 5\) минут.
Следовательно, \(\displaystyle a_{n+1}=a_n+5{\small }\) для всех \(\displaystyle n{\small .}\)
Значит, последовательность чисел
\(\displaystyle a_1,\, a_2,\ldots,\, a_{n},\ldots \)
– арифметическая прогрессия с разностью \(\displaystyle d=5{\small .}\)
По условию, дан первый член прогрессии \(\displaystyle a_1=15{\small .}\)
В задаче требуется найти, в какой по счёту день продолжительность процедуры достигнет \(\displaystyle 1\) часа \(\displaystyle 10\) минут.
Так как \(\displaystyle 1\) час \(\displaystyle 10\) минут составляет \(\displaystyle 60+10=70\) минут, то надо найти \(\displaystyle n\) такое, что \(\displaystyle a_n=70{\small .}\)
По формуле \(\displaystyle n\)-го члена арифметической прогрессии,
\(\displaystyle a_n=a_1+(n-1)d{\small .}\)
Получаем:
\(\displaystyle 70=15+(n-1)\cdot 5{\small ,}\)
\(\displaystyle 55=(n-1)\cdot 5{\small ,}\)
\(\displaystyle n-1=11{\small ,}\)
\(\displaystyle n=12{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 12{\small .}\)