В амфитеатре \(\displaystyle 11\) рядов. В первом ряду \(\displaystyle 16\) мест, а в каждом следующем на \(\displaystyle 3\) места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?
Пусть \(\displaystyle a_n\) – количество мест в ряду под номером \(\displaystyle n{\small ,}\) \(\displaystyle n=1,2,...,11{\small .}\)
По условию, \(\displaystyle a_{n+1}-a_n{\small }\) одно и то же для всех \(\displaystyle n\) от \(\displaystyle 1\) до \(\displaystyle 10{\small .}\)
Значит, последовательность чисел
\(\displaystyle a_1,\, a_2,\ldots,\, a_{11}\)
– арифметическая прогрессия.
В задаче требуется найти сумму одиннадцати ее первых членов \(\displaystyle S_{11}{\small .}\)
По условию, \(\displaystyle a_{1}=16{\small ,}\) \(\displaystyle d = 3{\small .}\)
По формуле для суммы первых \(\displaystyle n \) членов арифметической прогрессии
\(\displaystyle S_n= \frac{ 2a_1+d(n-1)}{ 2 }\cdot n \)
получаем для \(\displaystyle S_{11}{\small : } \)
\(\displaystyle S_{11}= \frac{ 2a_1+d(11-1)}{ 2 }\cdot 11{ \small .}\)
Так как \(\displaystyle a_{1}=16{\small}\) и \(\displaystyle d = 3{ \small ,}\) то
\(\displaystyle S_{11}= \frac{ 2\cdot 16+3\cdot 10}{ 2 }\cdot 11{ \small ,}\)
\(\displaystyle S_{11}= \frac{ 32+30}{ 2 }\cdot 11{ \small ,}\)
\(\displaystyle S_{11}= \frac{ 62}{ 2 }\cdot 11{ \small ,}\)
\(\displaystyle S_{11}= { 31}\cdot 11{ \small ,}\)
\(\displaystyle S_{11}= { 341}{ \small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 341{\small }\)место.