Skip to main content

Теория: Углы

Задание

На стороне \(\displaystyle AD\) параллелограмма \(\displaystyle ABCD\) отмечена точка \(\displaystyle E\) так, что \(\displaystyle AB=AE{\small,}\) \(\displaystyle \angle BEA=70^{\circ}{\small.}\)

Найдите углы параллелограмма.

\(\displaystyle \angle A=\) \(\displaystyle ^{\circ}{\small;}\)   \(\displaystyle \angle B=\) \(\displaystyle ^{\circ}{\small;}\)   \(\displaystyle \angle C=\) \(\displaystyle ^{\circ}{\small;}\)   \(\displaystyle \angle D=\) \(\displaystyle ^{\circ}{\small.}\) 

Решение

\(\displaystyle ABCD\) – параллелограмм:

  • \(\displaystyle E \in AD{\small;}\)
  • \(\displaystyle AB=AE{\small;}\)
  • \(\displaystyle \angle BEA=70^{\circ}{\small.}\)

Требуется найти углы параллелограмма \(\displaystyle ABCD{\small.}\)

 

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle ABE{\small.}\)

Так как \(\displaystyle AB=AE{\small,}\) то

\(\displaystyle \triangle ABE\) – равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит,

\(\displaystyle \angle EBA=\angle BEA=70^{\circ}{\small.}\)

Сумма внутренних углов треугольника равна \(\displaystyle 180^{\circ}{\small.}\) Следовательно,

\(\displaystyle \angle BAE=180^{\circ}-\angle EBA-\angle BEA=180^{\circ}-70^{\circ}-70^{\circ}=40^{\circ}{\small.}\)

 

То есть угол \(\displaystyle A\) параллелограмма \(\displaystyle ABCD\) равен \(\displaystyle 40^{\circ}{\small.}\)

По свойствам параллелограмма получаем:

  • \(\displaystyle \angle C=\angle A=40^{\circ}{\small;}\)
  • \(\displaystyle \angle B=180^{\circ}-\angle A=180^{\circ}-40^{\circ}=140^{\circ}{\small;}\)
  • \(\displaystyle \angle D=\angle B=140^{\circ}{\small.}\)

 

Ответ: \(\displaystyle \angle A=40^{\circ}{\small;}\) \(\displaystyle \angle B=140^{\circ}{\small;}\) \(\displaystyle \angle C=40^{\circ}{\small;}\) \(\displaystyle \angle D=140^{\circ}{\small.}\)