Skip to main content

Теория: 11 Разные задачи, использующие синус и косинус

Задание

В треугольнике \(\displaystyle ABC\) угол \(\displaystyle B\) прямой, угол \(\displaystyle A\) равен \(\displaystyle \alpha\small.\) Из вершины \(\displaystyle B\) провели высоту \(\displaystyle BH\small,\) длина отрезка \(\displaystyle HC\) равна \(\displaystyle a\small.\) Найдите сторону \(\displaystyle BC\small,\) если \(\displaystyle a=5\) и \(\displaystyle \sin\alpha = 0{,}25\small.\)

\(\displaystyle BC=\)
20
Решение

Необходимо найти \(\displaystyle BC\small,\) а известно \(\displaystyle CH\small.\) Тогда найдем острый угол в прямоугольном треугольнике \(\displaystyle HCB\small.\)

В треугольнике \(\displaystyle CBA\) известны два угла:

  • \(\displaystyle \angle CBA=90^{\circ}\small,\)
  • \(\displaystyle \angle BAC=\color{red}{\alpha}\small.\)

Тогда третий угол треугольника:

 

\(\displaystyle \angle BCA = 180^{\circ}-\angle CBA-\angle BAC=180^{\circ}-90^{\circ}-\color{red}{\alpha}=90^{\circ}-\color{red}{\alpha}\small.\)
 

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle CBH\small.\) В нем:

  • \(\displaystyle \angle BCH=90^{\circ}-\color{red}{\alpha}\small,\)
  • \(\displaystyle CH=a\small.\)

Косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

Тогда гипотенуза:

\(\displaystyle BC=\frac{CH}{\cos\angle BCH}=\frac{a}{\cos(90^{\circ}-\color{red}{\alpha})}\small.\)


По условию, \(\displaystyle a=5\) и \(\displaystyle \sin\alpha = 0{,}25\small.\)

Тогда, используя формулу приведения, упростим выражение и подставим известные значения:

\(\displaystyle BC=\frac{a}{\cos(90^{\circ}-\color{red}{\alpha})}=\frac{a}{\sin\color{red}{\alpha}}=\frac{5}{0{,}25}=20\small.\)


Ответ: \(\displaystyle BC=20\small.\)