Skip to main content

Теория: 11 Разные задачи, использующие синус и косинус

Задание

Две окружности касаются внешним образом в точке \(\displaystyle X\small.\) К этим окружностям проведена общая внешняя касательная, \(\displaystyle Y\) и \(\displaystyle Z\) – точки касания. При этом \(\displaystyle XY=15\) и \(\displaystyle XZ=20\small.\)

Найдите косинус угла \(\displaystyle XYZ{\small:}\)

\(\displaystyle \cos\angle XYZ=\)
0,6

Найдите радиусы этих окружностей:

\(\displaystyle R=\)
\frac{50}{3}
  и  \(\displaystyle r=\)
9,375
Решение

Построим рисунок к задаче:

Сразу отметим, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

То есть

\(\displaystyle \angle OYZ=\angle EZY=90^{\circ}\small.\)

Отрезки \(\displaystyle OX\) и \(\displaystyle EX\) перпендикулярны общей касательной к окружностям.

Тогда \(\displaystyle O,\,X,\,E\) лежат на одной прямой.

Найдем косинус угла \(\displaystyle XYZ\small.\)

Обозначим за \(\displaystyle M\) точку пересечения касательных. Поскольку отрезки касательных равны, то

\(\displaystyle MY=MX\) и \(\displaystyle MX=MZ\small.\)

Значит,

\(\displaystyle MY=MX=MZ\small.\)

В треугольнике \(\displaystyle YXZ\) медиана равна половине стороны, к которой проведена. Тогда \(\displaystyle YXZ\) прямоугольный треугольник с прямым углом \(\displaystyle X\small.\)

Чтобы найти косинус угла \(\displaystyle XYZ\small,\) находим гипотенузу треугольника \(\displaystyle YXZ{\small:}\)

\(\displaystyle YZ=\sqrt{XY^2+XZ^2}=\sqrt{15^2+20^2}=\sqrt{625}=25\small.\)

Тогда

\(\displaystyle \cos\angle XYZ=\frac{XY}{YZ}=\frac{15}{25}=0{,}6\small.\)

Найдем радиусы окружностей.

Рассмотрим равнобедренные треугольники \(\displaystyle OYX\) и \(\displaystyle EXZ\small.\)

Сначала обозначим угол \(\displaystyle XYZ\) за \(\displaystyle \alpha\) и найдем углы треугольников.

Так как \(\displaystyle \angle YXZ=90^{\circ}\small,\) то 

\(\displaystyle \angle YZX=90^{\circ}-\angle XYZ=90^{\circ}-\alpha\small.\)

Поскольку углы \(\displaystyle OYZ\) и \(\displaystyle EZY\) прямые, получаем:

  • \(\displaystyle \angle XYO=90^{\circ}-\alpha\small,\)
  • \(\displaystyle \angle XZE=90^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha)=\alpha\small.\)

    Проведем в равнобедренных треугольниках \(\displaystyle OYX\) и \(\displaystyle EXZ\) медианы, которые совпадают с высотами.

    Тогда в прямоугольном треугольнике \(\displaystyle OYM_1\) находим гипотенузу:

    \(\displaystyle OY=\frac{YM_1}{\cos(90^{\circ}-\alpha)}=\frac{\phantom{11}\dfrac{15}{2}\phantom{11}}{0{,}8}=9{,}375\small.\)

    Тогда в прямоугольном треугольнике \(\displaystyle EZM_2\) находим гипотенузу:

    \(\displaystyle EZ=\frac{ZM_2}{\cos\alpha}=\frac{10}{0{,}6}=\frac{ 50}{ 3 }\small.\)

    Получаем, что радиусы окружностей равны \(\displaystyle 9{,}375 \) и \(\displaystyle \frac{ 50}{ 3 }\small.\)


    Ответ: \(\displaystyle R=\frac{ 50}{ 3 }\) и \(\displaystyle r=9{,}375\small.\)