Skip to main content

Теория: 08 Формула площади четырёхугольника через его диагонали и угол между ними

Задание

Диагонали параллелограмма равны \(\displaystyle 3\) и \(\displaystyle 4\small,\) а его площадь равна \(\displaystyle 6\small.\) Найдите стороны параллелограмма.

\(\displaystyle AB=\)
2,5
и \(\displaystyle AD=\)
2,5
Решение

Построим рисунок к задаче:

Обозначим угол между диагоналями параллелограмма \(\displaystyle \alpha\small.\)

Чтобы решить задачу:

  • по формуле площади найдем угол между диагоналями,
  • найдем стороны параллелограмма.


1. По формуле площади четырехугольника получаем:

\(\displaystyle S_{ABCD}=\frac{AC\cdot BD\cdot\sin\alpha}{2}\small,\)

\(\displaystyle 6=\frac{3\cdot4\cdot\sin\alpha}{2}\small.\)

Откуда находим

\(\displaystyle \sin\alpha=1\small.\)

Угол, синус которого равен \(\displaystyle 1\) – это \(\displaystyle 90^{\circ}\small.\) То есть

\(\displaystyle \alpha=90^{\circ}\small.\)
 

2. Диагонали в параллелограмме делятся точкой пересечения пополам. Тогда

  • \(\displaystyle AM=CM=\frac{AC}{2}=2\small,\)
  • \(\displaystyle BM=DM=\frac{BD}{2}=1{,}5\small.\)

Тогда по теореме Пифагора для прямоугольных треугольников \(\displaystyle AMB\) и \(\displaystyle AMD\) находим гипотенузы:

  • \(\displaystyle AB=\sqrt{AM^2+BM^2}=\sqrt{2^2+1{,}5^2}=2{,}5{\small;}\)
  • \(\displaystyle AD=\sqrt{AM^2+MD^2}=\sqrt{2^2+1{,}5^2}=2{,}5\small.\)


Ответ: \(\displaystyle AB=2{,}5\) и \(\displaystyle AD=2{,}5\small.\)