Skip to main content

Теория: Задачи про биссектрисы

Задание

В треугольнике \(\displaystyle ABC{\small:}\)

  • \(\displaystyle AB=a\small,\) 
  • \(\displaystyle \angle A=\alpha\) и \(\displaystyle \angle B=\beta\small.\)

 

В каком отношении биссектриса угла \(\displaystyle C\) делит сторону \(\displaystyle AB?\)

\(\displaystyle AL:BL=\) 

(Ответ дайте в зависимости от \(\displaystyle \alpha,\,\beta\) и \(\displaystyle a\small.\))

Решение

Правило

Теорема синусов

В треугольнике отношения сторон к синусам противолежащих углов одинаковы и равны удвоенному радиусу описанной окружности:

\(\displaystyle \frac{\color{Purple}{a}}{\sin\color{Purple}{\alpha}}=\frac{\color{green}{b}}{\sin\color{green}{\beta}}=\frac{\color{blue}{c}}{\sin\color{blue}{\gamma}}=2\color{red}{R}{\small.}\)

План решения:

Необходимо найти отношение отрезков \(\displaystyle AL\) и \(\displaystyle BL\small.\) Эти отрезки являются сторонами треугольников \(\displaystyle ALC\) и \(\displaystyle BLC\small.\)

Также у треугольников \(\displaystyle ALC\) и \(\displaystyle BLC\) есть равные элементы:

  • \(\displaystyle LC\) – общая сторона,
  • \(\displaystyle \angle ACL=\angle BCL=\frac{\angle C}{2}\small.\)

Используя теорему синусов, выразим \(\displaystyle AL\) и \(\displaystyle BL\) через \(\displaystyle LC\) и \(\displaystyle \frac{\angle C}{2}\small,\) затем найдем отношение \(\displaystyle AL\) и \(\displaystyle BL{\small .}\)

Выразим \(\displaystyle AL{\small:}\)

\(\displaystyle AL=\frac{CL\sin\gamma}{\sin\alpha}\small.\)

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle ALC\small.\) В этом треугольнике известны два угла:\(\displaystyle \color{red}{\alpha}\) и \(\displaystyle \color{blue}\gamma=\frac{\angle C}{2}\)(т.к.  \(\displaystyle \color{red}{CL}\)- биссектриса угла \(\displaystyle C\)).

По теореме синусов:

\(\displaystyle \frac{\color{blue}{AL}}{\sin\color{blue}\gamma}=\frac{\color{red}{CL}}{\sin\color{red}\alpha}\small.\)

Выразим \(\displaystyle AL\small{:}\)

\(\displaystyle AL=\frac{CL\sin\gamma}{\sin\alpha}\small.\)

Аналогично выразим \(\displaystyle BL{\small:}\)

\(\displaystyle BL=\frac{CL\sin\gamma}{\sin\beta}\small.\)

Найдем отношение \(\displaystyle AL:BL\small{:}\)

\(\displaystyle \frac{AL}{BL}=\frac{CL\sin\gamma}{\sin\alpha}:\frac{CL\sin\gamma}{\sin\beta}=\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}\small.\)


Ответ: \(\displaystyle \frac{AL}{BL}=\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}\small.\)