Skip to main content

Теория: Задачи про биссектрисы

Задание

В треугольнике \(\displaystyle ABC{\small:}\)

  • \(\displaystyle AB=7\small,\) 
  • \(\displaystyle \sin\angle A=0{,}3\) и \(\displaystyle \sin\angle B=0{,}4\small.\)

В каком отношении биссектриса \(\displaystyle CL\) делит сторону \(\displaystyle AB?\)

\(\displaystyle AL:BL=\)
\frac{4}{3}
Решение

Правило

Теорема синусов

В треугольнике отношения сторон к синусам противолежащих углов одинаковы и равны удвоенному радиусу описанной окружности:

\(\displaystyle \frac{\color{Purple}{a}}{\sin\color{Purple}{{\angle A}}}=\frac{\color{green}{b}}{\sin\color{green}{{\angle B}}}=\frac{\color{blue}{c}}{\sin\color{blue}{{\frac{\angle C}{2}}}}=2\color{red}{R}{\small.}\)

 

 

План решения:

Необходимо найти отношение отрезков \(\displaystyle AL\) и \(\displaystyle BL\small.\) Эти отрезки являются сторонами треугольников \(\displaystyle ALC\) и \(\displaystyle BLC\small.\)

Также у треугольников \(\displaystyle ALC\) и \(\displaystyle BLC\) есть равные элементы:

  • \(\displaystyle LC\) – общая сторона,
  • \(\displaystyle \angle ACL=\angle BCL=\frac{\angle C}{2}\small.\)

Используя теорему синусов, выразим\(\displaystyle AL\)и\(\displaystyle BL\)через\(\displaystyle LC\)и\(\displaystyle \frac{\angle C}{2}\small,\)затем найдем отношение\(\displaystyle AL\)и\(\displaystyle BL{\small .}\)

Выразим \(\displaystyle AL{\small:}\)

\(\displaystyle AL=\frac{CL\sin\frac{\angle C}{2}}{\sin\angle A}\small.\)

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle ALC\small.\) 
\(\displaystyle \color{red}{CL}\)- биссектриса угла \(\displaystyle C\).

По теореме синусов:

\(\displaystyle \frac{\color{blue}{AL}}{\sin\color{blue}{\frac{\angle C}{2}}}=\frac{\color{red}{CL}}{\sin\color{red}{\angle A}}\small.\)

Выразим \(\displaystyle AL\small{:}\)

\(\displaystyle AL=\frac{CL\sin{\frac{\angle C}{2}}}{\sin{\angle A}}\small.\)

Аналогично выразим \(\displaystyle BL{\small:}\)

\(\displaystyle BL=\frac{CL\sin{\frac{\angle C}{2}}}{\sin{\angle B}}\small.\)

Вычислим отношение \(\displaystyle AL:BL\small{:}\)

\(\displaystyle \frac{AL}{BL}=\frac{CL\sin{\frac{\angle C}{2}}}{\sin{\angle A}}:\frac{CL\sin{\frac{\angle C}{2}}}{\sin{\angle B}}=\frac{\sin{\angle B}}{\sin{\angle A}}=\frac{0{,}4}{0{,}3}=\frac{4}{3}\small.\)


Ответ: \(\displaystyle AL:BL=4:3\small.\)