Skip to main content

Теория: Теорема Фалеса

Задание

В треугольник \(\displaystyle ABC\) вписали параллелограмм \(\displaystyle BDEF\) так, как показано на рисунке. Найдите длину отрезка \(\displaystyle CD{\small,}\) если \(\displaystyle AF=4{\small,}\) \(\displaystyle BF=6\) и \(\displaystyle BD=3{\small.}\)

\(\displaystyle CD=\)\(\displaystyle {\small.}\)

Решение
  • \(\displaystyle ABC\) – треугольник;
  • \(\displaystyle BDEF\) – параллелограмм;
  • \(\displaystyle AF=4{\small;}\)
  • \(\displaystyle BF=6{\small;}\)
  • \(\displaystyle BD=3{\small.}\)

Требуется найти длину отрезка \(\displaystyle CD{\small.}\)

 

Так как \(\displaystyle BDEF\) – параллелограмм, то

\(\displaystyle FE \parallel BD{\small;}\)

\(\displaystyle ED \parallel FB{\small.}\)

Вспомним теорему о пропорциональных отрезках.

\(\displaystyle \color{red}{1{\small.}}\) Cекущие \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle AC\) пересечены параллельными прямыми \(\displaystyle FE\) и \(\displaystyle BC{\small.}\)

Согласно теореме о пропорциональных отрезках:

\(\displaystyle \frac{AE}{AF}=\frac{CE}{BF}{\small.}\)

Пусть это отношение равно некоторому коэффициенту \(\displaystyle t{\small.}\)

То есть

\(\displaystyle \frac{AE}{4}=\frac{CE}{6}=t{\small.}\)

 

 

Тогда

\(\displaystyle AE=4t{\small,}\)

\(\displaystyle CE=6t{\small.}\)

\(\displaystyle \color{red}{2{\small.}}\) Cекущие \(\displaystyle CA\) и \(\displaystyle CB\) пересечены параллельными прямыми \(\displaystyle ED\) и \(\displaystyle AB{\small.}\)

Согласно теореме о пропорциональных отрезках:

\(\displaystyle \frac{CD}{CE}=\frac{BD}{AE}{\small.}\)

То есть

\(\displaystyle \frac{CD}{6t}=\frac{3}{4t}{\small.}\)

 

 

Значит, по свойству пропорции

\(\displaystyle CD=\frac{3 \cdot 6t}{4t}=\frac{18}{4}=\frac{9}{2}=4{,}5{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle CD=4{,}5{\small.}\)