Skip to main content

Теория: Теорема Фалеса

Задание

Даны две прямые. На одной прямой выбраны точки \(\displaystyle A{\small,}\) \(\displaystyle B{\small,}\) \(\displaystyle C{\small,}\) а на другой – точки \(\displaystyle A_1{\small,}\) \(\displaystyle B_1\) и \(\displaystyle C_1\) таким образом, что \(\displaystyle AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1\) и точка \(\displaystyle B\) лежит между точками \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle C{\small.}\) Прямая \(\displaystyle DF\) пересекает прямые \(\displaystyle AA_1{\small,}\) \(\displaystyle BB_1\) и \(\displaystyle CC_1\) в точках \(\displaystyle D{\small,}\) \(\displaystyle E\) и \(\displaystyle F\) соответственно. Найдите \(\displaystyle DE:EF{\small,}\) если \(\displaystyle AC=18{\small,}\) \(\displaystyle A_1B_1=8\) и \(\displaystyle B_1C_1:BC=4:3{\small.}\)
 


\(\displaystyle DE:EF=\)\(\displaystyle :\)\(\displaystyle {\small.}\)

Решение

Отметим на рисунке длины отрезков.

  • \(\displaystyle AC=18{\small;}\)
  • \(\displaystyle A_1B_1=8{\small;}\)
  • \(\displaystyle B_1C_1:BC=4:3{\small.}\)

Требуется найти  \(\displaystyle DE:EF{\small.}\)

 

Вспомним теорему о пропорциональных отрезках.

Рассмотрим секущие \(\displaystyle A_1C_1\) и \(\displaystyle DF\) и параллельные прямые \(\displaystyle A_1D{\small,}\) \(\displaystyle B_1E\) и \(\displaystyle C_1F{\small.}\)

Согласно теореме о пропорциональных отрезках

\(\displaystyle \frac{A_1B_1}{DE}=\frac{B_1C_1}{EF}{\small.}\)

По свойству пропорции получаем

\(\displaystyle \frac{DE}{EF}=\frac{A_1B_1}{B_1C_1}{\small.}\)

То есть

\(\displaystyle \frac{DE}{EF}=\frac{8}{B_1C_1}{\small.}\)

Найдём длину отрезка \(\displaystyle B_1C_1{\small.}\)

Рассмотрим секущие \(\displaystyle AC\) и\(\displaystyle A_1C_1\) и параллельные прямые \(\displaystyle AA_1{\small,}\) \(\displaystyle BB_1\) и \(\displaystyle CC_1{\small.}\)

Согласно теореме о пропорциональных отрезках

\(\displaystyle \frac{A_1B_1}{AB}=\frac{B_1C_1}{BC}{\small.}\)

По условию \(\displaystyle A_1B_1=8\) и \(\displaystyle B_1C_1:BC=4:3{\small,}\) значит,

\(\displaystyle \frac{8}{AB}=\frac{4}{3}{\small.}\)

По свойству пропорции

\(\displaystyle AB=\frac{8 \cdot 3}{4}=6{\small.}\)

 

Так как точка \(\displaystyle B\) лежит на отрезке \(\displaystyle AC{\small,}\) то

\(\displaystyle BC=AC-AB=18-6=12{\small.}\)

Подставим известные величины в равенство:

\(\displaystyle \frac{A_1B_1}{AB}=\frac{B_1C_1}{BC}{\small;}\\ \)

\(\displaystyle \frac{8}{6}=\frac{B_1C_1}{12}{\small.}\)

Получаем:

\(\displaystyle B_1C_1=\frac{8 \cdot12}{6}=16{\small.}\)

Найдём отношение \(\displaystyle DE\) к \(\displaystyle EF{\small:}\)

\(\displaystyle \frac{DE}{EF}=\frac{8}{B_1C_1}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle DE:EF=1:2{\small.}\)