Skip to main content

Теория: 01 Метод удвоения медианы треугольника

Задание

В треугольнике \(\displaystyle ABC\) медиана \(\displaystyle AM\) продолжена за точку \(\displaystyle M\) на расстояние, равное \(\displaystyle AM{\small.}\) Найдите расстояние от полученной точки до вершины \(\displaystyle B{\small,}\) если \(\displaystyle AB=6{\small,}\) \(\displaystyle AC=8{\small.}\)

Решение

По условию задачи выполним построение.

\(\displaystyle ABC\) – треугольник:

  • \(\displaystyle AB=6{\small;}\) \(\displaystyle AC=8{\small;}\)
  • \(\displaystyle AM\) – медиана;
  • точка \(\displaystyle E\) лежит на прямой \(\displaystyle AM\) и \(\displaystyle AM=ME{\small.}\)

Требуется найти расстояние \(\displaystyle BE{\small.}\)

 

Соединим точки \(\displaystyle C\) и \(\displaystyle E\) отрезком.

Получили четырёхугольник \(\displaystyle ABEC{\small,}\) в котором:

  • \(\displaystyle AM=ME{\small;}\)
  • \(\displaystyle BM=MC{\small.}\)

То есть в четырёхугольнике \(\displaystyle ABEC\) диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Следовательно, по признаку параллелограмма

\(\displaystyle ABEC\) – параллелограмм.

В параллелограмме противоположные стороны равны. Значит,

\(\displaystyle BE=AC=8{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 8{\small.}\)