Skip to main content

Теория: 01 Метод удвоения медианы треугольника

Задание

Точка \(\displaystyle M\) – середина стороны \(\displaystyle CD\) параллелограмма \(\displaystyle ABCD{\small.}\) Расстояние от вершины \(\displaystyle B\) данного параллелограмма до прямой \(\displaystyle AM\) равно \(\displaystyle 7{\small.}\) Найдите длину стороны \(\displaystyle AD{\small,}\) если известно, что \(\displaystyle \angle MAD=30^{\circ}{\small.}\)

\(\displaystyle AD=\)

Решение

\(\displaystyle ABCD\) – параллелограмм:

  • \(\displaystyle M\) – середина стороны \(\displaystyle CD{\small;}\)
  • \(\displaystyle BH \perp AM{\small;}\)
  • \(\displaystyle BH=7{\small;}\)
  • \(\displaystyle \angle MAD=30^{\circ}{\small.}\)

 

Требуется найти длину стороны \(\displaystyle AD{\small.}\)

 

Выполним дополнительное построение.

Продлим отрезок \(\displaystyle AM\) за точку \(\displaystyle M\) до пересечения с прямой \(\displaystyle BC{\small.}\)

\(\displaystyle P\) – точка пересечения прямых \(\displaystyle AM\) и \(\displaystyle BC{\small.}\)

Рассмотрим треугольники \(\displaystyle PCM\) и \(\displaystyle ADM{\small.}\)

  • \(\displaystyle CM=MD{\small,}\) так как точка \(\displaystyle M\) – середина \(\displaystyle CD{\small;}\)
  • \(\displaystyle \angle PMC= \angle AMD\) – вертикальные углы;
  • \(\displaystyle \angle PCM= \angle ADM\) – накрест лежащие углы при параллельных прямых \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle AD\) и секущей \(\displaystyle CD{\small.}\)

Следовательно,

\(\displaystyle \triangle PCM=\triangle ADM\) 

по стороне и двум прилежащим углам.

Значит,

\(\displaystyle \angle MPC=\angle MAD=30^{\circ}{\small;}\)

\(\displaystyle CP=AD{\small.}\)

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle BPH{\small.}\)

  • \(\displaystyle \triangle BHP\) – прямоугольный \(\displaystyle (BH\perp PM){\small;}\)
  • \(\displaystyle \angle BPH=30^{\circ}{\small.}\)

В прямоугольном треугольнике против угла \(\displaystyle 30^{\circ}\) лежит катет, равный половине гипотенузы. То есть

\(\displaystyle BH=\frac{1}{2}BP{\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle BP=2 \cdot BH=2 \cdot 7=14{\small.}\)

Так как точка \(\displaystyle C\) лежит на отрезке \(\displaystyle BP{\small,}\) то

\(\displaystyle BP=BC+CP{\small.}\)

Подставим

  • \(\displaystyle BP=14{\small;}\)
  • \(\displaystyle BC=AD\) – противоположные стороны параллелограмма;
  • \(\displaystyle CP=AD\) – соответственные стороны в равных треугольниках.

В результате получаем

\(\displaystyle 14=AD+AD{\small;}\)

\(\displaystyle 2 \cdot AD=14{\small;}\)

\(\displaystyle AD=7{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle AD=7{\small.}\)