Skip to main content

Теория: 06 Теорема Вариньона для произвольного четырёхугольника

Задание

Точки \(\displaystyle K{\small,}\) \(\displaystyle L{\small,}\) \(\displaystyle M{\small,}\) \(\displaystyle N\) – середины сторон четырёхугольника \(\displaystyle ABCD{\small.}\) Найдите сумму диагоналей \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD\) четырёхугольника \(\displaystyle ABCD{\small,}\) если периметр четырёхугольника \(\displaystyle KLMN\) равен \(\displaystyle 27{\small.}\)

\(\displaystyle AC+BD=\)

Решение

\(\displaystyle ABCD\) – четырёхугольник:

  • \(\displaystyle K\) – середина стороны \(\displaystyle AB{\small;}\)
  • \(\displaystyle L\) – середина стороны \(\displaystyle BC{\small;}\)
  • \(\displaystyle M\) – середина стороны \(\displaystyle CD{\small;}\)
  • \(\displaystyle N\) – середина стороны \(\displaystyle AD{\small;}\)
  • \(\displaystyle P_{KLMN}=27\) – периметр четырёхугольника \(\displaystyle KLMN{\small.}\)

Требуется найти сумму диагоналей \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD\) четырёхугольника \(\displaystyle ABCD{\small:}\)

\(\displaystyle AC+BD=\color{red}{\large ?}\)

 

Определим вид четырёхугольника \(\displaystyle KLMN{\small.}\)

\(\displaystyle KL=\frac{1}{2} \cdot AC\) и \(\displaystyle KL \parallel AC{\small.}\)

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle ABC{\small:}\)

Точки \(\displaystyle K\) и \(\displaystyle L\) – середины сторон \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle BC\) соответственно. Значит,

\(\displaystyle KL\) – средняя линия треугольника \(\displaystyle ABC{\small.}\)

Следовательно,

\(\displaystyle KL=\frac{1}{2} \cdot AC\) и \(\displaystyle KL \parallel AC{\small.}\)

\(\displaystyle MN=\frac{1}{2} \cdot AC\) и \(\displaystyle MN \parallel AC{\small.}\)

\(\displaystyle LM=\frac{1}{2} \cdot BD\) и \(\displaystyle LM \parallel BD{\small.}\)

\(\displaystyle KN=\frac{1}{2} \cdot BD\) и \(\displaystyle KN \parallel BD{\small.}\)

В четырёхугольнике \(\displaystyle KLMN\) противоположные стороны попарно параллельны и равны. Значит,

\(\displaystyle KLMN\) – параллелограмм.

\(\displaystyle P_{KLMN}=2 \cdot (KL+LM){\small.}\)

Выразим диагонали четырёхугольника \(\displaystyle ABCD\) через стороны параллелограмма \(\displaystyle KLMN{\small.}\)

  • так как \(\displaystyle KL=\frac{1}{2} \cdot AC{\small,}\) то \(\displaystyle AC=2 \cdot KL{\small;}\\ \)
  • так как \(\displaystyle LM=\frac{1}{2} \cdot BD{\small,}\) то \(\displaystyle BD=2 \cdot LM{\small.}\)

Тогда

\(\displaystyle AC+BD=2 \cdot KL+2 \cdot LM=2 \cdot (KL+LN){\small.}\)

Так как \(\displaystyle 2 \cdot (KL+LN)=P_{KLMN}=27{\small,}\) то

\(\displaystyle AC+BD=27{\small.}\)

 

Ответ: \(\displaystyle AC+BD=27{\small.}\)

 

Информация

Теорема Вариньона

Середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Данный параллелограмм часто называют параллелограммом Вариньона.