Теория: 06 Теорема Вариньона для произвольного четырёхугольника

По условию \(\displaystyle ABCD\) – прямоугольник, значит,

• \(\displaystyle AB=CD{\small,}\) \(\displaystyle BC=AD{\small;}\)
• \(\displaystyle \angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90^{\circ}{\small.}\)

Рассмотрим треугольники \(\displaystyle KAN{\small,}\) \(\displaystyle KBL{\small,}\) \(\displaystyle MCL{\small,}\) \(\displaystyle MDN{\small:}\)

\(\displaystyle AK=BK=DM=CM\) – половины равных сторон \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD{\small;}\\ \) \(\displaystyle AN=BL=DN=CL\) – половины равных сторон \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BC{\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle \triangle KAN=\triangle KBL=\triangle MCL=\triangle MDN\)

по двум катетам.

Следовательно,

\(\displaystyle KN=KL=LM=MN{\small.}\)

В четырёхугольнике \(\displaystyle KLMN\) все стороны равны. Значит,

\(\displaystyle KLMN\) – ромб.

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle ABC{\small.}\)

Точки \(\displaystyle K\) и \(\displaystyle L\) – середины сторон \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle BC\) соответственно. Значит, \(\displaystyle KL\) – средняя линия треугольника \(\displaystyle ABC{\small.}\) Следовательно, \(\displaystyle KL=\frac{1}{2} \cdot AC{\small.}\) Тогда \(\displaystyle AC=2 \cdot KL=2 \cdot 18=36{\small.}\)