Skip to main content

Теория: 06 Теорема Вариньона для произвольного четырёхугольника

Задание

Точки \(\displaystyle K{\small,}\) \(\displaystyle L{\small,}\) \(\displaystyle M{\small,}\) \(\displaystyle N\) – середины сторон прямоугольника \(\displaystyle ABCD{\small.}\) Определите вид четырёхугольника \(\displaystyle KLMN{\small.}\) 

Решение

По условию \(\displaystyle ABCD\) – прямоугольник, значит,

  • \(\displaystyle AB=CD{\small,}\) \(\displaystyle BC=AD{\small;}\)
  • \(\displaystyle \angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90^{\circ}{\small.}\)

 

Рассмотрим треугольники \(\displaystyle KAN{\small,}\) \(\displaystyle KBL{\small,}\) \(\displaystyle MCL{\small,}\) \(\displaystyle MDN{\small:}\)

  • \(\displaystyle AK=BK=DM=CM\) – половины равных сторон \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD{\small;}\)

 

  • \(\displaystyle AN=BL=DN=CL\) – половины равных сторон \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BC{\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle \triangle KAN=\triangle KBL=\triangle MCL=\triangle MDN\)

по двум катетам.

В равных прямоугольных треугольниках гипотенузы равны. Следовательно,

\(\displaystyle KN=KL=LM=MN{\small.}\)

В четырёхугольнике \(\displaystyle KLMN\) все стороны равны. Значит,

\(\displaystyle KLMN\) – ромб.

Ответ: ромб

Информация

Теорема Вариньона

Середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Данный параллелограмм часто называют параллелограммом Вариньона.

Следствие из Теоремы Вариньона

Середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба.