Skip to main content

Теория: 06 Теорема Вариньона для произвольного четырёхугольника

Задание

Точки \(\displaystyle K{\small,}\) \(\displaystyle L{\small,}\) \(\displaystyle M{\small,}\) \(\displaystyle N\) – середины сторон равнобедренной трапеции \(\displaystyle ABCD{\small.}\) Точки \(\displaystyle F{\small,}\) \(\displaystyle P{\small,}\) \(\displaystyle T{\small,}\) \(\displaystyle R\) – середины сторон четырёхугольника \(\displaystyle KLMN{\small.}\) Найдите периметр четырёхугольника \(\displaystyle FPTR{\small,}\) если высота трапеции \(\displaystyle ABCD\) равна \(\displaystyle 10\) и \(\displaystyle AD=16{\small,}\) \(\displaystyle BC=8{\small.}\)

\(\displaystyle P_{_{FPTR}}=\)

Решение

\(\displaystyle ABCD\) – равнобедренная трапеция:

  • \(\displaystyle AD=16{\small,}\) \(\displaystyle BC=8{\small;}\)
  • высота трапеции равна \(\displaystyle 10{\small;}\)
  • \(\displaystyle K{\small,}\) \(\displaystyle L{\small,}\) \(\displaystyle M{\small,}\) \(\displaystyle N\) – середины сторон равнобедренной трапеции \(\displaystyle ABCD{\small;}\)
  • \(\displaystyle F{\small,}\) \(\displaystyle P{\small,}\) \(\displaystyle T{\small,}\) \(\displaystyle R\) – середины сторон четырёхугольника \(\displaystyle KLMN{\small.}\)

Требуется найти периметр четырёхугольника \(\displaystyle FPTR{\small.}\)

 

По теореме Вариньона

\(\displaystyle KLMN\) – параллелограмм,

\(\displaystyle FPTR\) – параллелограмм.

Периметр параллелограмма \(\displaystyle FPTR\) можно вычислить по формуле:

\(\displaystyle P_{_{FPTR}}=2 \cdot (FP+PT){\small.}\)

Параллелограмм \(\displaystyle KLMN\) является ромбом.

Параллелограмм \(\displaystyle FPTR\) является прямоугольником.

Проведём диагонали ромба \(\displaystyle KLMN\) и найдём их длины.

\(\displaystyle KM\) – средняя линия трапеции \(\displaystyle ABCD{\small,}\) значит,

\(\displaystyle KM \parallel AD{\small,}\) \(\displaystyle KM \parallel BC{\small,}\\ \)

\(\displaystyle KM=\frac{AD+BC}{2}=\frac{16+8}{2}=12{\small.}\)

 

Диагонали ромба перпендикулярны, то есть \(\displaystyle LN \perp KM{\small.}\) Следовательно,

\(\displaystyle LN \perp AD\)    и    \(\displaystyle LN \perp BC{\small.}\)

Значит, \(\displaystyle LN\) является высотой трапеции \(\displaystyle ABCD{\small.}\) По условию высота трапеции равна \(\displaystyle 10{\small,}\) то есть

\(\displaystyle LN=10{\small.}\)

Найдём длины отрезков \(\displaystyle FP\) и \(\displaystyle PT{\small.}\)

  • Рассмотрим треугольник \(\displaystyle KLN{\small:}\)

Точки \(\displaystyle F\) и \(\displaystyle P\) – середины сторон \(\displaystyle KN\) и \(\displaystyle KL\) соответственно. Значит,

\(\displaystyle FP\) – средняя линия треугольника \(\displaystyle KLN{\small.}\)

Следовательно, \(\displaystyle FP\parallel LN\) и

\(\displaystyle FP=\frac{1}{2} \cdot LN=\frac{1}{2} \cdot 10=5{\small.}\)

 

  • Рассмотрим треугольник \(\displaystyle KLM{\small:}\)

Точки \(\displaystyle P\) и \(\displaystyle T\) – середины сторон \(\displaystyle KL\) и \(\displaystyle LM\) соответственно. Значит,

\(\displaystyle PT\) – средняя линия треугольника \(\displaystyle KLM{\small.}\)

Следовательно, \(\displaystyle PT \parallel KM\) и

\(\displaystyle PT=\frac{1}{2} \cdot KM=\frac{1}{2} \cdot 12=6{\small.}\)

В результате получаем

\(\displaystyle P_{_{FPTR}}=2 \cdot (FP+PT)=2 \cdot (5+6)=2 \cdot 11=22{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle P_{_{FPTR}}=22{\small.}\)