Даны два треугольника \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle BDC\) такие, что \(\displaystyle AC=10{\small,}\) \(\displaystyle BC=9{\small,}\) \(\displaystyle CD=8{,}1\) и \(\displaystyle \angle ACB= \angle BCD{\small.}\) Найдите периметр треугольника \(\displaystyle ABC{\small,}\) если \(\displaystyle BD=13{,}5{\small.}\)
\(\displaystyle P_{\triangle ABC}=\)
Рассмотрим треугольники \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle BDC{\small:}\)
\(\displaystyle \frac{BC}{AC}=\frac{CD}{BC}=0{,}9{\small.}\)
\(\displaystyle \angle ACB= \angle BCD\) – по условию.
Значит,
\(\displaystyle \triangle ABC \sim \triangle BDC\) по двум сторонам и углу между ними (по второму признаку подобия)
Следовательно,
\(\displaystyle \frac{BD}{AB}=0{,}9{\small.}\)
То есть
\(\displaystyle \frac{13{,}5}{AB}=0{,}9{\small;}\\ \)
\(\displaystyle AB=\frac{13{,}5}{0{,}9}=\frac{135}{9}=15{\small.}\)
Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон:
\(\displaystyle P_{\triangle ABC}=AB+BC+AC{\small;}\)
\(\displaystyle P_{\triangle ABC}=15+9+10=34{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle P_{\triangle ABC}=34{\small.}\)