Skip to main content

Теория: 09 Применение признаков подобия при решении задач на нахождение элементов фигур

Задание

На стороне \(\displaystyle CD\) параллелограмма \(\displaystyle ABCD\) отмечена точка \(\displaystyle E{\small.}\) Прямые \(\displaystyle AE\) и \(\displaystyle BC\) пересекаются в точке \(\displaystyle F{\small.}\) Найдите \(\displaystyle EF\) и \(\displaystyle FC{\small,}\) если \(\displaystyle DE=8{\small,}\) \(\displaystyle EC=4{\small,}\) \(\displaystyle BC=7{\small,}\) \(\displaystyle AE=10{\small.}\)

(Ответ запишите в виде целого числа или десятичной дроби.)

\(\displaystyle EF=\)

\(\displaystyle FC=\)

Решение

По условию задачи выполним построение.

\(\displaystyle ABCD\) – параллелограмм:

  • \(\displaystyle BC=7{\small;}\)
  • \(\displaystyle E \in CD{\small;}\)
  • \(\displaystyle DE=8{\small;}\)
  • \(\displaystyle EC=4{\small;}\)
  • \(\displaystyle AE=10{\small;}\)
  • \(\displaystyle F\) – точка пересечения прямых \(\displaystyle AE\) и \(\displaystyle BC{\small.}\)

 

Требуется найти длины отрезков \(\displaystyle EF\) и \(\displaystyle FC{\small.}\)

 

Рассмотрим треугольники \(\displaystyle FEC\) и \(\displaystyle AED{\small.}\)

Противоположные стороны параллелограмма равны, значит, \(\displaystyle AD=BC=7{\small.}\)

  • \(\displaystyle \angle FEC= \angle AED\) – вертикальные углы;
  • \(\displaystyle \angle FCE= \angle ADE\) – накрест лежащие углы при параллельных прямых \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle AD\) и секущей \(\displaystyle CD{\small.}\)

Следовательно, \(\displaystyle \triangle FEC \sim \triangle AED\) по двум углам.

Тогда

\(\displaystyle \frac{EF}{AE}=\frac{FC}{AD}=\frac{EC}{DE}{\small.}\)

Подставим \(\displaystyle AE=10{\small;}\) \(\displaystyle AD=7{\small;}\) \(\displaystyle EC=4{\small;}\) \(\displaystyle DE=8{\small:}\)

\(\displaystyle \frac{EF}{10}=\frac{FC}{7}=\frac{4}{8}{\small.}\)

В результате получаем:

  • \(\displaystyle \frac{EF}{10}=\frac{1}{2}{\small,}\) значит,

\(\displaystyle EF=\frac{1}{2}\cdot 10=5{\small;}\)

  • \(\displaystyle \frac{FC}{7}=\frac{1}{2}{\small,}\) значит,

\(\displaystyle FC=\frac{1}{2}\cdot 7=3{,}5{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle EF= 5{\small;}\) \(\displaystyle FC=3{,}5{\small.}\)