Skip to main content

Теория: 09 Применение признаков подобия при решении задач на нахождение элементов фигур

Задание

Диагонали трапеции \(\displaystyle ABCD\) с основаниями \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD\) пересекаются в точке \(\displaystyle O{\small.}\) Найдите \(\displaystyle AB{\small,}\) если \(\displaystyle OB=4{\small,}\) \(\displaystyle OD=10{\small,}\) \(\displaystyle CD=25{\small.}\)

\(\displaystyle AB=\)

Решение

По условию задачи выполним построение.

\(\displaystyle ABCD\) – трапеция:

  • \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD\) – основания трапеции;
  • \(\displaystyle CD=25{\small;}\)
  • \(\displaystyle O\) – точка пересечения диагоналей \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD{\small;}\)
  • \(\displaystyle OB=4{\small;}\)
  • \(\displaystyle OD=10{\small.}\)

Требуется найти длину основания \(\displaystyle AB{\small.}\)

 

Рассмотрим треугольники \(\displaystyle AOB\) и \(\displaystyle COD{\small.}\)

  • \(\displaystyle \angle AOB= \angle COD\) – вертикальные углы;
  • \(\displaystyle \angle ABO= \angle CDO\) – накрест лежащие углы при параллельных прямых \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD\) и секущей \(\displaystyle BD{\small.}\)

Следовательно, \(\displaystyle \triangle AOB \sim \triangle COD\) по двум углам.

Тогда

\(\displaystyle \frac{AB}{CD}=\frac{OB}{OD}{\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle AB=\frac{OB \cdot CD}{OD}{\small.}\)

 

Подставим \(\displaystyle OB=4{\small,}\) \(\displaystyle CD=25{\small,}\) \(\displaystyle OD=10{\small:}\)

\(\displaystyle AB=\frac{4 \cdot 25}{10}=\frac{100}{10}=10{\small.}\)

 

Ответ: \(\displaystyle AB=10{\small.}\)