Skip to main content

Теория: 09 Применение признаков подобия при решении задач на нахождение элементов фигур

Задание

На сторонах четырёхугольника \(\displaystyle ABCD\) взяты точки \(\displaystyle K{\small,}\) \(\displaystyle L{\small,}\) \(\displaystyle M{\small,}\) \(\displaystyle N\) так, что \(\displaystyle \frac{AK}{BK}=\frac{AN}{DN}=\frac{CL}{BL}=\frac{CM}{DM}=\frac{1}{2}{\small.}\)

Найдите периметр четырёхугольника \(\displaystyle KLMN{\small,}\) если \(\displaystyle AC=15{\small,}\) \(\displaystyle BD=18{\small.}\)

\(\displaystyle P_{KLMN}=\)

Решение

Рассмотрим четырёхугольник \(\displaystyle ABCD{\small.}\)

 

  • \(\displaystyle AC=15{\small;}\) \(\displaystyle BD=18{\small.}\)

По условию \(\displaystyle \frac{AK}{BK}=\frac{AN}{DN}=\frac{CL}{BL}=\frac{CM}{DM}=\frac{1}{2}{\small.}\)

Тогда

  • \(\displaystyle AK=a{\small,}\) \(\displaystyle BK=2a{\small,}\) \(\displaystyle AB=3a{\small;}\)
  • \(\displaystyle AN=b{\small,}\) \(\displaystyle DN=2b{\small,}\) \(\displaystyle AD=3b{\small;}\)
  • \(\displaystyle CL=c{\small,}\) \(\displaystyle BL=2c{\small,}\) \(\displaystyle BC=3c{\small;}\)
  • \(\displaystyle CM=d{\small,}\) \(\displaystyle DM=2d{\small,}\) \(\displaystyle CD=3d{\small.}\)

Требуется найти периметр четырёхугольника \(\displaystyle KLMN{\small.}\)

Периметр четырёхугольника равен сумме длин всех его сторон. То есть

\(\displaystyle P_{KLMN}=KL+LM+MN+KN{\small.}\)

 

Найдём длины сторон четырёхугольника \(\displaystyle KLMN{\small.}\)

\(\displaystyle KL=10{\small.}\)

Рассмотрим треугольники \(\displaystyle KBL\) и \(\displaystyle ABC{\small.}\)

  • \(\displaystyle \frac{BK}{BA}=\frac{2a}{3a}=\color{red}{\frac{2}{3}}{\small;}\\ \)
  • \(\displaystyle \frac{BL}{BC}=\frac{2c}{3c}=\color{red}{\frac{2}{3}}{\small;}\\ \)
  • \(\displaystyle \angle B\) – общий.

Следовательно,

\(\displaystyle \triangle KBL \sim \triangle ABC\)

по двум сторонам и углу между ними.

Значит,

\(\displaystyle \frac{KL}{AC}=\color{red}{\frac{2}{3}}{\small;}\\ \)

\(\displaystyle KL=\frac{2}{3} \cdot AC=\frac{2}{3} \cdot 15=10{\small.}\)

\(\displaystyle LM=6{\small.}\)

\(\displaystyle MN=10{\small.}\)

\(\displaystyle KN=6{\small.}\)

В результате получаем:

\(\displaystyle P_{KLMN}=KL+LM+MN+KN=10+6+10+6=32{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle P_{KLMN}=32{\small.}\)