Skip to main content

Теория: 09 Применение признаков подобия при решении задач на нахождение элементов фигур

Задание

Продолжения боковых сторон \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD\) трапеции \(\displaystyle ABCD\) пересекаются в точке \(\displaystyle P{\small.}\) Найдите периметр треугольника \(\displaystyle APD{\small,}\)  если \(\displaystyle AB=15{\small,}\) \(\displaystyle BC=7{\small,}\) \(\displaystyle CD=24{\small,}\) \(\displaystyle AD=28{\small.}\)

\(\displaystyle P_{\triangle APD}=\)

Решение

Обозначим на рисунке длины отрезков.

\(\displaystyle ABCD\) – трапеция:

  • \(\displaystyle AB=15{\small;}\)
  • \(\displaystyle BC=7{\small;}\)
  • \(\displaystyle CD=24{\small;}\)
  • \(\displaystyle AD=28{\small;}\)
  • \(\displaystyle P\) – точка пересечения продолжений боковых сторон \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD{\small.}\)

Пусть \(\displaystyle PB=x{\small,}\) \(\displaystyle PC=y{\small.}\)

Требуется найти периметр треугольника \(\displaystyle APD{\small.}\)

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон, то есть

\(\displaystyle P_{\triangle APD}=AP+PD+AD{\small.}\)

\(\displaystyle AP=15+x{\small.}\)

\(\displaystyle PD=24+y{\small.}\)

Тогда

\(\displaystyle P_{\triangle APD}=x+y+67{\small.}\)

Найдём значения \(\displaystyle x\) и \(\displaystyle y{\small.}\)

Рассмотрим треугольники \(\displaystyle BPC\) и \(\displaystyle APD{\small.}\)

  • \(\displaystyle BC \parallel AD\) – основания трапеции \(\displaystyle ABCD{\small;}\)
  • \(\displaystyle \angle PCB = \angle PDA\) – соответственные углы при параллельных прямых \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle AD\) и секущей \(\displaystyle PD{\small;}\)
  • \(\displaystyle \angle P\) – общий.

Следовательно,

\(\displaystyle \triangle BPC \sim \triangle APD\)

по двум углам.

Значит,

\(\displaystyle \frac{PB}{PA}=\frac{PC}{PD}=\frac{BC}{AD}=k{\small.}\)

\(\displaystyle k=\frac{1}{4}{\small.}\)

Из равенства

\(\displaystyle \frac{PB}{PA}=\frac{1}{4}{\small}\)

получаем

\(\displaystyle x=5{\small.}\)

\(\displaystyle \frac{PB}{PA}=\frac{1}{4}{\small.}\)

Подставим \(\displaystyle PB=x{\small;}\) \(\displaystyle PA=x+15{\small:}\)

\(\displaystyle \frac{x}{x+15}=\frac{1}{4}{\small.}\)

По свойству пропорции получаем:

\(\displaystyle 4 \cdot x=x+15{\small;}\)

\(\displaystyle 3x=15{\small;}\)

\(\displaystyle x=5{\small.}\)

Из равенства

\(\displaystyle \frac{PC}{PD}=\frac{1}{4}{\small}\)

получаем

\(\displaystyle y=8{\small.}\)

Найдём периметр треугольника \(\displaystyle APD{\small:}\)

\(\displaystyle P_{\triangle APD}=x+y+67=5+8+67=80{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle P_{\triangle APD}=80{\small.}\)