Skip to main content

Теория: 09 Применение признаков подобия при решении задач на нахождение элементов фигур

Задание

Продолжения боковых сторон \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD\) равнобедренной трапеции \(\displaystyle ABCD\) пересекаются в точке \(\displaystyle P{\small.}\) Найдите расстояние от точки \(\displaystyle P\) до вершины \(\displaystyle C{\small,}\) если \(\displaystyle AB=10{\small,}\) \(\displaystyle BC=4{\small,}\) \(\displaystyle AD=12{\small.}\)

\(\displaystyle PC=\)

Решение

Рассмотрим данный в задаче чертёж.

\(\displaystyle ABCD\) – равнобедренная трапеция:

  • \(\displaystyle BC=4{\small;}\)
  • \(\displaystyle AD=12{\small;}\)
  • \(\displaystyle CD=AB=10{\small;}\)
  • \(\displaystyle P\) – точка пересечения продолжений боковых сторон \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD{\small.}\)

В равнобедренной трапеции углы при основании равны, значит,

\(\displaystyle \angle BAD =\angle CDA{\small.}\)

Требуется найти длину отрезка \(\displaystyle PC{\small.}\)

Рассмотрим треугольники \(\displaystyle BPC\) и \(\displaystyle APD{\small.}\)

Пусть \(\displaystyle PC=x{\small,}\) тогда \(\displaystyle PD=x+10{\small.}\)

  • \(\displaystyle BC \parallel AD\) – основания трапеции \(\displaystyle ABCD{\small;}\)
  • \(\displaystyle \angle PCB = \angle PDA\) – соответственные углы при параллельных прямых \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle AD\) и секущей \(\displaystyle PD{\small;}\)
  • \(\displaystyle \angle P\) – общий.

Следовательно,

\(\displaystyle \triangle BPC \sim \triangle APD\)

по двум углам.

Значит,

\(\displaystyle \frac{PC}{PD}=\frac{BC}{AD}{\small.}\)

 

Подставим \(\displaystyle PC=x{\small;}\) \(\displaystyle PD=x+10{\small;}\) \(\displaystyle BC=4{\small;}\) \(\displaystyle AD=12{\small:}\)

\(\displaystyle \frac{x}{x+10}=\frac{4}{12}{\small;}\\ \)

\(\displaystyle \frac{x}{x+10}=\frac{1}{3}{\small.} \)

По свойству пропорции получаем:

\(\displaystyle 3 \cdot x=x+10{\small;}\)

\(\displaystyle 2x=10{\small;}\)

\(\displaystyle x=5{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle PC=5{\small.}\)