Три стороны описанного около окружности четырёхугольника относятся ( в последовательном порядке) как \(\displaystyle 2:3:5{\small.}\) Найдите бóльшую из сторон этого четырёхугольника, если его периметр равен \(\displaystyle 56{\small.}\)
Пусть \(\displaystyle ABCD\) – описанный четырёхугольник:
 |
\(\displaystyle AB=2t{\small,}\) \(\displaystyle BC=3t{\small,}\) \(\displaystyle CD=5t{\small;}\)
Требуется найти бóльшую сторону четырёхугольника \(\displaystyle ABCD{\small.}\) |
В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. |  |
Значит,
\(\displaystyle AB+CD=BC+AD{\small.}\)
То есть
\(\displaystyle 2t+5t=3t+AD{\small.}\)
Тогда
\(\displaystyle AD=2t+5t-3t=4t{\small.}\)
Периметр четырёхугольника равен сумме длин всех его сторон, то есть
\(\displaystyle P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD=2t+3t+5t+4t=14t{\small.}\)
По условию периметр четырёхугольника равен \(\displaystyle 56{\small,}\) значит,
\(\displaystyle 14t=56{\small;}\)
\(\displaystyle t=4{\small.}\)
\(\displaystyle AB=8{\small;}\) \(\displaystyle BC=12{\small;}\) \(\displaystyle CD=20{\small;}\) \(\displaystyle AD=16{\small.}\)
Наибóльшая сторона данного четырёхугольника \(\displaystyle CD=20{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 20{\small.}\)