Теория: 15 Окружность, описанная около равнобедренной трапеции (короткая версия)

Из вершины \(\displaystyle B\) проведём высоту \(\displaystyle BH{\small.}\)

\(\displaystyle BCPH\) – прямоугольник, значит, \(\displaystyle BC=HP={\color{blue}{\large a}}{\small.}\) В прямоугольных треугольниках \(\displaystyle ABH\) и \(\displaystyle DCP{\small:}\) \(\displaystyle AB=CD{\small,}\) \(\displaystyle BH=CP{\small,}\) значит, \(\displaystyle \triangle ABH=\triangle DCP\) (по гипотенузе и катету). Следовательно, \(\displaystyle AH=DP={\color{brown}{\large b}}{\small.}\)

\(\displaystyle 1)\) Выразим \(\displaystyle AP\) через \(\displaystyle {\color{blue}{\large a}}\) и \(\displaystyle {\color{brown}{\large b}}{\small:}\)

\(\displaystyle AP=AH+HP={\color{brown}{\large b}}+{\color{blue}{\large a}}{\small.}\)

\(\displaystyle 2)\) Выразим \(\displaystyle \color{red}{\large l}\) через \(\displaystyle {\color{blue}{\large a}}\) и \(\displaystyle {\color{brown}{\large b}}{\small:}\)

Подставим \(\displaystyle AD=({\color{blue}{\large a}}+2\cdot {\color{brown}{\large b}}){\small,}\) \(\displaystyle BC={\color{blue}{\large a}}{\small:}\)

\(\displaystyle \color{red}{\large l}=\frac{AD+BC}{2}=\frac{({\color{blue}{\large a}}+2\cdot {\color{brown}{\large b}})+{\color{blue}{\large a}}}{2}=\frac{2 \cdot({\color{blue}{\large a}}+{\color{brown}{\large b}})}{2}={\color{blue}{\large a}}+{\color{brown}{\large b}}{\small.}\)

То есть

\(\displaystyle AP={\color{blue}{\large a}}+{\color{brown}{\large b}}=\color{red}{\large l}{\small.}\)

\(\displaystyle \angle AOB=120^{\circ}\) – центральный угол и опирается на дугу \(\displaystyle AB{\small,}\) значит, \(\displaystyle {\small \smile}AB=120^{\circ}{\small.}\) Равные хорды окружности стягивают равные дуги. Так как \(\displaystyle CD=AB{\small,}\) то \(\displaystyle {\small \smile}CD={\small \smile}AB=120^{\circ}{\small.}\)

Проведём диагональ \(\displaystyle AC\) и рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle ACP{\small.}\)

Угол \(\displaystyle CAP\) совпадает с углом \(\displaystyle CAD{\small.}\)  \(\displaystyle \angle CAD\) – вписанный угол и опирается на дугу \(\displaystyle CD{\small,}\) следовательно, \(\displaystyle \angle CAD=\frac{1}{2}{\small \smile}CD=\frac{1}{2}\cdot 120^{\circ}=60^{\circ}{\small.}\) Котангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к противолежащему, то есть \(\displaystyle \ctg \angle CAP=\frac{AP}{CP}{\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle AP=CP \cdot \ctg \angle CAP=18 \cdot \ctg 60^{\circ}=18 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=6\sqrt{3}{\small.}\)