Теория: 15 Окружность, описанная около равнобедренной трапеции (короткая версия)

• \(\displaystyle \angle ABD=60^{\circ}\) – вписанный угол, опирающийся на дугу \(\displaystyle AD{\small.}\) Следовательно,

\(\displaystyle {\small \smile}AD=2 \cdot \angle ABD=2 \cdot 60^{\circ}=120^{\circ}{\small.}\)

• \(\displaystyle \angle BAC\) – вписанный угол, опирающийся на дугу \(\displaystyle BC{\small.}\) Следовательно,

\(\displaystyle {\small \smile}BC=2 \cdot \angle BAC{\small.}\)

По условию \(\displaystyle \cos \angle BAC=0{,}7{\small.}\)

Так как \(\displaystyle 0{,}7>0{,}5\) \(\displaystyle (\cos 60^{\circ}=0{,}5){\small,}\) то

\(\displaystyle \angle BAC<60^{\circ}{\small,}\) значит, \(\displaystyle {\small \smile}BC<120^{\circ}{\small.}\)

\(\displaystyle 1)\) проведём радиусы окружности в вершины трапеции:

\(\displaystyle OA=OB=OC=OD=3{\small.}\)

\(\displaystyle 2)\) через центр описанной окружности проведём высоту \(\displaystyle PH\) трапеции \(\displaystyle ABCD{\small.}\)

• вписанный угол \(\displaystyle ABD\) и центральный угол \(\displaystyle AOD\) опираются на одну дугу \(\displaystyle AD{\small,}\) значит,

\(\displaystyle \angle ABD=\frac{1}{2}\angle AOD{\small;}\)

• \(\displaystyle OH\) – высота равнобедренного треугольника \(\displaystyle AOD{\small,}\) проведённая к основанию \(\displaystyle AD{\small,}\) значит,

\(\displaystyle OH\) – биссектриса угла \(\displaystyle AOD{\small,}\) то есть

\(\displaystyle \angle DOH=\frac{1}{2}\angle AOD{\small.}\)

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \(\displaystyle 90^{\circ}{\small:}\)

\(\displaystyle \angle DOH+\angle ODH=90^{\circ}{\small.}\)

Тогда

\(\displaystyle \angle ODH=90^{\circ}-\angle DOH=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}{\small.}\)

В прямоугольном треугольнике напротив угла \(\displaystyle 30^{\circ}\) лежит катет, равный половине гипотенузы. Значит,

\(\displaystyle OH=\frac{1}{2} \cdot OD=\frac{1}{2} \cdot 3=1{,}5{\small.}\)

• вписанный угол \(\displaystyle BAC\) и центральный угол \(\displaystyle BOC\) опираются на одну дугу \(\displaystyle BC{\small,}\) значит,

\(\displaystyle \angle BAC=\frac{1}{2}\angle BOC{\small;}\)

• \(\displaystyle OP\) – высота равнобедренного треугольника \(\displaystyle BOC{\small,}\) проведённая к основанию \(\displaystyle BC{\small,}\) значит,

\(\displaystyle OP\) – биссектриса угла \(\displaystyle BOC{\small,}\) то есть

\(\displaystyle \angle COP=\frac{1}{2}\angle BOC{\small.}\)

Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. То есть

\(\displaystyle \frac{OP}{OC}=\cos \angle COP{\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle OP=OC \cdot \cos \angle COP=3 \cdot 0{,}7=2{,}1{\small.}\)