Skip to main content

Теория: 15 Окружность, описанная около равнобедренной трапеции (короткая версия)

Задание

В окружность радиуса \(\displaystyle 17\) вписана трапеция, основания которой равны \(\displaystyle 16\) и \(\displaystyle 30{\small,}\) причем центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту этой трапеции.

Решение

Пусть \(\displaystyle ABCD\) – трапеция, вписанная в окружность с центром в точке \(\displaystyle O{\small:}\)

  • \(\displaystyle OC=17\) – радиус окружности;
  • \(\displaystyle AD=30{\small,}\) \(\displaystyle BC=16\) – основания трапеции.

Требуется найти высоту трапеции.

Выполним дополнительное построение.

\(\displaystyle 1)\) проведём радиусы окружности в вершины трапеции;

\(\displaystyle 2)\) через центр описанной окружности проведём высоту \(\displaystyle PH\) трапеции \(\displaystyle ABCD{\small.}\)

  • \(\displaystyle OP\) – высота равнобедренного треугольника \(\displaystyle BOC{\small,}\) проведённая к основанию \(\displaystyle BC{\small,}\) значит, \(\displaystyle OP\) – медиана:

\(\displaystyle BP=PC=16:2=8{\small;}\)

  • \(\displaystyle OH\) – высота равнобедренного треугольника \(\displaystyle AOD{\small,}\) проведённая к основанию \(\displaystyle AD{\small,}\) значит, \(\displaystyle OH\) – медиана:

\(\displaystyle AH=HD=30:2=15{\small.}\)

Так как точка \(\displaystyle O\) лежит на высоте \(\displaystyle PH{\small,}\) то

\(\displaystyle PH=OP+OH{\small.}\)

\(\displaystyle OP=15{\small.}\)

\(\displaystyle OH=8{\small.}\)

Получаем:

\(\displaystyle PH=15+8=23{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 23{\small.}\)