Skip to main content

Теория: 15 Практическое применение теорем синусов и косинусов

Задание

Велосипедист едет по замкнутому треугольному маршруту. Два угла этого треугольника равны \(\displaystyle 70^\circ\) и \(\displaystyle 80^\circ\small.\) Меньшую сторону он проехал за \(\displaystyle 1\)ч. За сколько часов он проедет весь маршрут, сохраняя постоянную скорость? Ответ округлите до десятых.

\(\displaystyle t=\)
4,8
ч.

 

Вычислить приближенные значения синуса и косинуса.

Чтобы найти приближенные значения синуса и косинуса, введите значение угла в градусах и нажмите "enter":

Решение

Построим рисунок к задаче:

 

  • \(\displaystyle \angle BAC=70^\circ \small,\)
     
  • \(\displaystyle \angle BCA=80^\circ \small,\)
     
  • \(\displaystyle \angle ABC=180^\circ-80^\circ-70^\circ=30^\circ \small.\)

Напротив меньшего угла в треугольнике лежит меньшая сторона, поэтому меньшая сторона в треугольнике \(\displaystyle ABC\) – это \(\displaystyle AC\small.\)

Запишем теорему синусов для треугольника \(\displaystyle ABC\small.\)

\(\displaystyle \frac{AB}{\sin 80^\circ}=\frac{BC}{\sin 70^\circ}=\frac{AC}{\sin 30^\circ}\small.\)
 

Время на преодоление стороны \(\displaystyle AC\) известно. Тогда выразим две других стороны маршрута через \(\displaystyle AC\small{:}\)

\(\displaystyle AB=\frac{AC\cdot \sin 80^\circ}{\sin 30^\circ}\small,\)
 

\(\displaystyle BC=\frac{AC\cdot \sin 70^\circ}{\sin 30^\circ}\small.\)
 

Велосипедист проезжает расстояние, равное стороне \(\displaystyle AC\small,\) за \(\displaystyle 1\) час. Тогда на весь маршрут потребуется:
 

\(\displaystyle t=t_{AB}+t_{BC}+t_{AC}=\frac{\sin 80^\circ}{\sin 30^\circ}+\frac{\sin 70^\circ}{\sin 30^\circ}+1\approx 4{,}8\small.\)

Ответ: \(\displaystyle 4{,}8\)ч.