Подбрасывают два кубика. Найдите вероятность события
"Сумма выпавших очков на двух кубиках больше пяти и меньше девяти".
Если в случайном опыте конечное число элементарных событий и все они равновозможны, то вероятность \(\displaystyle P(A)\) события \(\displaystyle A\) равна отношению числа элементарных событий, благоприятствующих событию \(\displaystyle A\small,\) к общему числу элементарных событий:
\(\displaystyle P(A)=\frac{\text{число благоприятствующих элементарных событий}}{\text{число всех элементарных событий}}\)
Сначала найдём число всех элементарных событий.
Затем найдем число элементарных событий, благоприятствующих событию \(\displaystyle A\) "Сумма выпавших очков на двух кубиках больше пяти и меньше девяти".
Бросание кубика – это случайный опыт, результатом которого может быть выпадение любого целого числа от \(\displaystyle 1\) до \(\displaystyle 6\small.\)
Если мы бросим два кубика, то такой эксперимент может окончиться одним из \(\displaystyle 36\)элементарных событий. Все элементарные события можно представить в виде таблицы \(\displaystyle 6\times 6{\small,}\) номер строки которой показывает, сколько очков выпало на первом кубике, а номер столбца – сколько очков выпало на втором кубике.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | ||||||
| 2 | ||||||
| 3 | ||||||
| 4 | ||||||
| 5 | ||||||
| 6 |
Указанные элементарные события равновозможны.
Итак, число всех элементарных событий равно\(\displaystyle \color{green}{36}{\small .}\)
Для каждого элементарного события найдем сумму выпавших очков на двух кубиках.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | \(\displaystyle 2\) | \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle 4\) | \(\displaystyle 5\) | \(\displaystyle 6\) | \(\displaystyle 7\) |
| 2 | \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle 4\) | \(\displaystyle 5\) | \(\displaystyle 6\) | \(\displaystyle 7\) | \(\displaystyle 8\) |
| 3 | \(\displaystyle 4\) | \(\displaystyle 5\) | \(\displaystyle 6\) | \(\displaystyle 7\) | \(\displaystyle 8\) | \(\displaystyle 9\) |
| 4 | \(\displaystyle 5\) | \(\displaystyle 6\) | \(\displaystyle 7\) | \(\displaystyle 8\) | \(\displaystyle 9\) | \(\displaystyle 10\) |
| 5 | \(\displaystyle 6\) | \(\displaystyle 7\) | \(\displaystyle 8\) | \(\displaystyle 9\) | \(\displaystyle 10\) | \(\displaystyle 11\) |
| 6 | \(\displaystyle 7\) | \(\displaystyle 8\) | \(\displaystyle 9\) | \(\displaystyle 10\) | \(\displaystyle 11\) | \(\displaystyle 12\) |
Выделим числа больше пяти и меньше девяти в таблице.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | \(\displaystyle 2\) | \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle 4\) | \(\displaystyle 5\) | \(\displaystyle \color{red}6\) | \(\displaystyle \color{red}7\) |
| 2 | \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle 4\) | \(\displaystyle 5\) | \(\displaystyle \color{red}6\) | \(\displaystyle \color{red}7\) | \(\displaystyle \color{red}8\) |
| 3 | \(\displaystyle 4\) | \(\displaystyle 5\) | \(\displaystyle \color{red}6\) | \(\displaystyle \color{red}7\) | \(\displaystyle \color{red}8\) | \(\displaystyle 9\) |
| 4 | \(\displaystyle 5\) | \(\displaystyle \color{red}6\) | \(\displaystyle \color{red}7\) | \(\displaystyle \color{red}8\) | \(\displaystyle 9\) | \(\displaystyle {10}\) |
| 5 | \(\displaystyle \color{red}6\) | \(\displaystyle \color{red}7\) | \(\displaystyle \color{red}8\) | \(\displaystyle 9\) | \(\displaystyle {10}\) | \(\displaystyle {11}\) |
| 6 | \(\displaystyle \color{red}7\) | \(\displaystyle \color{red}8\) | \(\displaystyle 9\) | \(\displaystyle {10}\) | \(\displaystyle {11}\) | \(\displaystyle {12}\) |
Тогда событие "Сумма выпавших очков на двух кубиках больше пяти и меньше девяти" происходит в шестнадцатии случаях.
Число элементарных событий, благоприятствующих событию \(\displaystyle A{\small ,}\) равно \(\displaystyle \color{blue}{16}{\small .}\)
Найдём вероятность \(\displaystyle P(A)\) наступления события \(\displaystyle A\) по правилу:
\(\displaystyle P(A)=\frac{\text{число благоприятствующих элементарных событий}}{\text{число всех элементарных событий}}=\frac{\color{blue}{16}}{\color{green}{36}}=\frac{4}{9}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{4}{9}{\small .}\)