Из отрезка \(\displaystyle [0;\,1]\) случайным образом выбирают число \(\displaystyle x{\small.}\) Найдите вероятность того, что \(\displaystyle 2x>0{,}6{\small.}\)
Выясним сначала, какому неравенству должно удовлетворять случайное число \(\displaystyle x{\small.}\)
Для этого разделим на \(\displaystyle 2{\small}\) обе части неравенства \(\displaystyle 2x > 0{,}6{\small.}\) Получим равносильное неравенство
\(\displaystyle x > 0{,}3{\small.}\)
Найдём вероятность того, что случайно выбранное из отрезка \(\displaystyle [0;\,1]\) число \(\displaystyle x\) окажется больше \(\displaystyle 0{,}3{\small,}\) то есть вероятность \(\displaystyle P(x > 0{,}3){\small.}\)
На числовой прямой синим цветом изобразим отрезок \(\displaystyle \color{blue}{[0;\,1]}{\small.}\)
На этом отрезке красным цветом изобразим множество точек, соответствующих неравенству \(\displaystyle {x > 0{,}3}{\small:}\)
Получили красный полуинтервал \(\displaystyle \color {red}{(0{,}3;\,1]}\) – множество точек \(\displaystyle 0{,}3 < x\leqslant 1{\small.}\)
Тогда исходную задачу можно переформулировать следующим образом:
\(\displaystyle “\)найти вероятность того, что случайная точка с координатой \(\displaystyle x{\small}\) из отрезка \(\displaystyle [0;\,1]\) принадлежит полуинтервалу \(\displaystyle (0{,}3;\,1]"{\small.}\)
Так как случайно выбранное из отрезка число принимает одно конкретное значение с нулевой вероятностью, то вероятность попадания числа в полуинтервал \(\displaystyle \color {red}{(0{,}3; \, 1]}{\small}\) и в отрезок \(\displaystyle \color {red}{[0{,}3; \, 1]} {\small}\) совпадают. Получаем:
\(\displaystyle P(0{,}3 < x \leqslant 1)=P(0{,}3 \leqslant x \leqslant 1){\small.}\)
Для нахождения \(\displaystyle P(0{,}3 \leqslant x \leqslant 1){\small}\) воспользуемся формулой геометрической вероятности:
\(\displaystyle P(0{,}3 \leqslant x \leqslant 1)=\frac{\small{длина}\,\, \color {red}{[0{,}3;\,1]}}{\small{длина}\,\, \color {blue}{[0;\,1]}}=\frac{1-0{,}3}{1-0}=\frac{0{,}7}{1}=0{,}7{\small.}\)
Окончательно имеем:
\(\displaystyle P(2x > 0{,}6)=P(x > 0{,}3)=P(0{,}3 < x \leqslant 1)=P(0{,}3 \leqslant x \leqslant 1)=0{,}7{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 0{,}7{\small.}\)