Теория: 05 Выбор числа из числового промежутка - 1

\(\displaystyle P(x < 0{,}8)=\,?{\small}\)

На числовой прямой синим цветом изобразим отрезок \(\displaystyle \color{blue}{[0;\,1]}{\small.}\)

На этом отрезке красным цветом изобразим множество точек, соответствующих неравенству \(\displaystyle {x < 0{,}8}{\small:}\)

Получили красный полуинтервал \(\displaystyle \color {red}{[0; \, 0{,}8)}\) –  множество точек \(\displaystyle 0 \leqslant x < 0{,}8{\small.}\)

Тогда исходную задачу можно переформулировать следующим образом:

\(\displaystyle “\)найти вероятность того, что случайная точка с координатой \(\displaystyle x{\small}\) из отрезка \(\displaystyle [0;\,1]\) принадлежит полуинтервалу \(\displaystyle [0; \, 0{,}8)"{\small.}\)

Так как случайно выбранное из отрезка число принимает одно конкретное значение с нулевой вероятностью, то вероятность попадания числа в полуинтервал \(\displaystyle \color {red}{[0; \, 0{,}8)}\) и в отрезок \(\displaystyle \color {red}{[0; \, 0{,}8]}\) совпадают. Получаем:

\(\displaystyle P(0 \leqslant x < 0{,}8)=P(0 \leqslant x \leqslant 0{,}8){\small.}\)

Для нахождения \(\displaystyle P(0 \leqslant x \leqslant 0{,}8){\small}\) воспользуемся формулой геометрической вероятности:

\(\displaystyle P(0 \leqslant x \leqslant 0{,}8)=\frac{\small{длина}\,\, \color {red}{[0; \, 0{,}8]}}{\small{длина}\,\, \color {blue}{[0;\,1]}}=\frac{0{,}8-0}{1-0}=\frac{0{,}8}{1}=0{,}8{\small.}\)

Окончательно имеем:

\(\displaystyle P(x < 0{,}8)=P(0 \leqslant x < 0{,}8)=P(0 \leqslant x \leqslant 0{,}8)=0{,}8{\small.}\)

\(\displaystyle P(x > 0{,}7)=\,?{\small}\)

На числовой прямой синим цветом изобразим отрезок \(\displaystyle \color{blue}{[0;\,1]}{\small.}\)

На этом отрезке красным цветом изобразим множество точек, соответствующих неравенству \(\displaystyle {x > 0{,}7}{\small:}\)

Получили красный полуинтервал \(\displaystyle \color {red}{(0{,}7; \, 1]}\) –  множество точек \(\displaystyle 0{,}7 < x \leqslant 1{\small.}\)

Тогда исходную задачу можно переформулировать следующим образом:

\(\displaystyle “\)найти вероятность того, что случайная точка с координатой \(\displaystyle x{\small}\) из отрезка \(\displaystyle [0;\,1]\) принадлежит полуинтервалу \(\displaystyle (0{,}7; \, 1]"{\small.}\)

Так как случайно выбранное из отрезка число принимает одно конкретное значение с нулевой вероятностью, то вероятность попадания числа в полуинтервал \(\displaystyle \color {red}{(0{,}7; \, 1]}{\small}\) и в отрезок \(\displaystyle \color {red}{[0{,}7; \, 1]} {\small}\) совпадают. Получаем:

\(\displaystyle P(0{,}7 < x \leqslant 1)=P(0{,}7 \leqslant x \leqslant 1){\small.}\)

Для нахождения \(\displaystyle P(0{,}7 \leqslant x \leqslant 1){\small}\) воспользуемся формулой геометрической вероятности:

\(\displaystyle P(0{,}7 \leqslant x \leqslant 1)=\frac{\small{длина}\,\, \color {red}{[0{,}7; \, 1]}}{\small{длина}\,\, \color {blue}{[0; \, 1]}}=\frac{1-0{,}7}{1-0}=\frac{0{,}3}{1}=0{,}3{\small.}\)

Окончательно имеем:

\(\displaystyle P(x > 0{,}7)=P(0{,}7 < x \leqslant 1)=P(0{,}7 \leqslant x \leqslant 1)=0{,}3{\small.}\)